Monthly Archives: Декабрь 2014

Искусственные методы решения иррациональных уравнений

Пример 1. Решить уравнение
714
Решение.
Поскольку произведение взаимно сопряженных чисел равно разности квадратов (а + b)(а - b) = а² - b², то, умножив обе части исходного уравнения на выражение

Решение иррациональных уравнений. Метод введения новых переменных

Пример 1. Решить уравнение
614
Решение. Сделаем замену переменной, положив

616
Отсюда получаем

Метод возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень

Метод возведения обеих частей данного иррационального уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:
а) возводят обе части исходного уравнения в одну и ту же степень, предварительно уединив один из радикалов;
б) с учетом тождества
530
(где а ≥ 0, если n — четное; a є R, если n — нечетное) получают уравнение f(x) = φ(x);
в) решают уравнение f(x) = φ(х) и делают проверку, которая в основном осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.
Замечание 1. Если производить только эквивалентные преобразования исходного уравнения, то проверку делать не нужно.

Иррациональные уравнения. Основные методы решения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры иррациональных уравнений:

488
ОСНОВНЫМИ МЕТОДАМИ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЯВЛЯЮТСЯ:
1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
2) метод введения новых переменных. Иногда при¬меняют также различные искусственные приемы.
При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в четную степень могут появиться посторонние (лишние) корни. Эти корни могут появиться за счет того, что при возведении обеих частей исходного уравнения f(x) = φ(х) в четную степень получается уравнение, являющееся следствием не только уравнения f(x) = φ(x), но и уравнения f(x) = -φ(x), поскольку и (f(x))² =(ф(х))², И (f(x))² =(-ф(х))². Если уравнение f(x) = -φ(х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями исходного уравнения f(x) = φ(x).

загрузка...

Метод интервалов (промежутков) при решении уравнений с модулями

Этод метод заключается в следующем:
1) приравниваются к нулю выражения, стоящие под знаком модуля;
2) полученные значения откладываются на числовой прямой, которая при этом разбивается на интервалы (промежутки), в каждом из которых свой знак под модульного выражения;
3) решаются полученные уравнения в каждом из интервалов.
На практике метод интервалов обычно применяется тогда, когда уравнение содержит более одного модуля.
Рассмотрим применение метода интервалов на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение |х + 2| + |х-4| = 5х-20.
Решение.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяют следующие методы:
а) раскрытие модуля по определению;
б) возведение обеих частей уравнения в квадрат;
в) метод интервалов (промежутков).
Вспомним определение модуля:
468
Отметим следующие свойства модуля, которые нередко используются на практике:
472
466
Прежде чем начать решать уравнение с модулем, заметим, что уравнение |f(x)| = а равносильно совокупности уравнений

Решение рациональных и дробно-рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной был использован ранее при решении трехчленных уравнений, однако этот метод с успехом применяется и при решении многих других уравнений, где возможна и полезна замена переменной. Для закрепления этого метода рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение (х² + х)² - 8(х² + х) + 12 = 0.
Решение.
Положив х² + х = t, получим уравнение t² - 8t +12 = 0, откуда находим t₁ =2; t₂ = 6. Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений х² + х = 2; х² + х = 6, то есть
422
Уравнение (а) имеет корни x₁=-2, х₂=1; уравнение (б) имеет корни х₃ = -3, х₄ = 2.
Ответ: {-2;1;-3;2}.
Пример 2. Решить уравнение