Monthly Archives: Декабрь 2016

Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 23

Пример 1. Для каждой из следующих функций найти точки разрыва, если они существуют, найти скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:
1) \displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}x^{2},\: if\: x\leq 2,\\ x,\: if\: x>2; \end{matrix}\right.
2) \displaystyle \varphi (x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x},\: if\: 0\leq x\leq 1,\\ 4-2x,\: if\: 1<x <2,5,\\ 2x-7,\: if\: 2,5\leq x<+\infty ; \end{matrix}\right.

Непрерывность и точки разрыва функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 22

Пример 1. Показать, что элементарные функции:
1) \displaystyle y=2x^{2}-1; 2) \displaystyle v=\textrm{cosec}\: x.
непрерывны во всей своей области определения.
Решение. Найдем область определения функции и затем убедимся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непрерывна в этой же области.

Непрерывность и точки разрыва функции. Практикум по математическому анализу. Урок 21

Функция \displaystyle y=f(x) называется непрерывной в точке \displaystyle x_{0}, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента \displaystyle x-x_{0}=\Delta x соответствует бесконечно малое приращение функции \displaystyle y-y_{0}=\Delta y, т. е. если
\displaystyle \underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\Delta y=\underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\left [ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \right ]=0.
Этому определению равносильно следующее:

Сравнение бесконечно малых. Практикум по математическому анализу. Урок 20

Чтобы сравнить между собой бесконечно малые величины \displaystyle \alpha и \displaystyle \beta, находят предел их отношения. При этом:
1) если \displaystyle \textrm{lim}\frac{\alpha }{\beta }=0, то \displaystyle \alpha называется бесконечно малой высшего порядка, чем \displaystyle \beta;
2) если \displaystyle \textrm{lim}\frac{\alpha }{\beta }=\infty, то \displaystyle \alpha называется бесконечно малой низшего порядка, чем \displaystyle \beta;

загрузка...

×