Category Archives: Справочник по математике для школьников и абитуриентов

Периодичность тригонометрических функций

Для периодической функции \displaystyle y=f(x) выполняется равенство \displaystyle f(x+T)=f(x) , где T — отличное от нуля число, называемое периодом функции. Каждая периодическая функция имеет бесчисленное множество периодов, т. к. если T — период, то nT — период, где \displaystyle n\in Z/ \left \{ 0 \right \} . Обычно, говоря о периоде, имеют в виду наименьший положительный период, который называется основным. Основными периодами для тригонометрических функций являются: T = 360° для функций \displaystyle y=sinx,\; y=cosx ; T = 180° для функций \displaystyle y=tgx,\; y=ctgx.

Четность и нечетность тригонометрических функций

Четность и нечетность тригонометрических функций

При повороте единичного вектора \displaystyle \overrightarrow{OM_{0}} (начального радиуса \displaystyle OM_{0} на углы \displaystyle \alpha и \displaystyle -\alpha абсциссы векторов \displaystyle \overrightarrow{OM_{0}} и \displaystyle \overrightarrow{OM'} равны, а ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку (рис. 1). Это значит, что \displaystyle cos(-\alpha )=cos\alpha,\; sin(-\alpha )=-sin\alpha , т.е. функция \displaystyle cos(\alpha ) является четной, a \displaystyle sin(\alpha )нечетной.

Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

ПРИМЕРЫ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
При доказательстве тождеств обычно используют следующие способы:
1) выражение, стоящее в одной части тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части тождества;
2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, приводят к одному и тому же виду;
3) доказывают, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.

Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 2

Пример 5. Упростить A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha .
Решение.

A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha =\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha }\cdot \frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=1.


Ответ: A=1.

загрузка...

Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 1

Пример 1. Определить знак выражений: a) sin2; б) cos6.
Решение. Изобразим углы в 2 и 6 радиан на тригонометрическом круге (рис. 1). Заметим, что \pi =180^{\circ}, но, с другой стороны, \pi \approx 3,14 радиан. Поэтому \frac{\pi }{2}<2< \pi ,\; \frac{3\pi }{2}<6<2\pi . Отсюда угол \alpha =2 оканчивается во II четверти, а угол \alpha =6 оканчивается в IV четверти. Тогда sin2>0,\; cos6>0.

Загрузка...

Основные тригонометрические тождества

Помимо тождества sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1, основными тригонометрическими тождествами называются также следующие соотношения:

sin\alpha=\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha },\; cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha},


tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },\; ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha },\; tg\alpha \cdot ctg\alpha =1,

Определение тригонометрических функций

Рассмотрим вначале тригонометрические функции острого угла, которые можно ввести с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1).
Пусть в прямоугольном треугольнике ACB:

\angle ACB=90^{\circ},\; \angle BAC=\alpha ,\; \left | BC \right |=a,\; \left | AC \right |=b,\; \left | AB \right |=c.


sin\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{a}{c} (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

загрузка...