Архив категории: Справочник по математике для школьников и абитуриентов

Связь между радианной и градусной мерами угла

Связь между радианной и градусной мерами угла

Поскольку длина всей окружности равна 2\pi R, то полный угол составляет 2\pi радиан, т. к. \frac{2\pi R}{R}=2\pi. Поскольку полный угол равен 360° , то 2\pi=360^{\circ}.
Отсюда 1 радиан = \frac{360^{\circ}}{2\pi }=\frac{180^{\circ}}{\pi }=57^{\circ}{17}'{45}'' (57 градусов, 17 минут, 45 секунд).
Таким образом, из соотношений \pi =180^{\circ},\; 1=\frac{180}{\pi },\; 1^{\circ}=\frac{\pi }{180^{\circ}} можно переходить от градусов к радианам и наоборот.

Тригонометрия. Углы и их измерения

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла (рис.1).
ris-1

Рис.1

Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 1. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть число 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение. Пусть a_{1},a_{2},a_{3} — члены арифметической прогрессии; b_{1},b_{2},b_{3} — члены геометрической прогрессии. По условию a_{1}+a_{2}+a_{3}=30. Найдем связь между a_{1} и d — разностью прогрессии.

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

Решение задач на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
Пример 1. Обратить периодическую дробь 0,454545...= 0,(45) в обыкновенную.
Решение. Представим исходную дробь в виде суммы:
0,(45)=\frac{45}{100}+\frac{45}{10000}+\frac{45}{1000000}+...=
=\frac{45}{100}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{45}{100}\cdot \frac{100}{99}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}
(так как у нас есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q=\frac{1}{100}).

загрузка...

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Будем называть бесконечно убывающей геометрической прогрессией такую геометрическую прогрессию b_{n}, у которой знаменатель \left | q \right |<1 и которая содержит бесконечное число слагаемых.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется предел суммы n первых ее членов, когда n\rightarrow \infty.

Решение типовых задач на геометрическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. В геометрической прогрессии (b_{n}): b_{1}=6,q=3. Найти b_{64},S_{64}
Решение.
b_{64}=b_{1}\cdot q^{63}=6\cdot 3^{63};
S_{64}=\frac{b_{1}(1-q^{64})}{1-q}=\frac{6(1-3^{64})}{1-3}=
=\frac{6}{-2}\left ( 1-3^{64} \right )=-3\cdot (1-3^{64})=3\cdot (3^{64}-1).
Ответ: b_{64}=6\cdot 3^{63};\; S_{64}=3\cdot (3^{64}-1).

Решение типовых задач на геометрическую прогрессию. Часть 1

Пример 1. В геометрической прогрессии (b_{n}) b_{1}=16;\; q=\frac{1}{2}. Найти b_{7}.
Решение.
b_{7}=b_{1}q^{6}=16\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\frac{2^{4}}{2^{6}}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.
Ответ: \frac{1}{4}.
Пример 2. Дана геометрическая прогрессия (b_{n}): 2;-6;18. Найти b_{5}.
Решение.
Найдем сначала знаменатель прогрессии:

×