Архив категории: Справочник по математике для школьников и абитуриентов

Геометрическая прогрессия (основные формулы)

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность (b_{n}), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля. Первый член геометрической прогрессии предполагается отличным от нуля. b_{n} называется n - ым членом геометрической прогрессии.
Примеры геометрической прогрессии:
а) 1;2;4;8;16;32;...;
б) 1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{256};...;
в) 12;4;\frac{4}{3};\frac{4}{9};\frac{4}{27};....

Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если сумма её n первых членов S_{n}=2n^{2}-3n.
Решение.
S_{1}=a_{1}=2\cdot 1^{2}-3\cdot 1=2-3=-1;
S_{2}=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2=8-6=2;
S_{2}=a_{1}+a_{2}=2\Leftrightarrow a_{2}=2-a_{1}=2-(-1)=3.
Отсюда d=a_{2}-a_{1}=3-(-1)=4.
Ответ: a_{1}=-1;\: d=4.

Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 1

Пример 1. Выписать первые пять членов арифметической прогрессии (a_{n}), если: a_{1}=12,\; d=3.
Решение.
a_{2}=a_{1}+d=12+3=15;\; a_{3}=a_{2}+d=15+3=18;
a_{4}=a_{3}+d=18+3=21;\; a_{5}=a_{4}+d=21+3=24.
Ответ: 12; 15; 18; 21; 24.
Пример 2. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии (a_{n}), если a_{1}=-3,\; d=0,7.
Решение.

Арифметическая прогрессия (основные формулы)

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом. Обозначается арифметическая прогрессия обычно так: (a_{n}). a_{n} называется n-м членом арифметической прогрессии.
Из определения арифметической прогрессии следует, что a_{n+1}=a_{n}+d. Число d называется разностью прогрессии. Таким образом,
d=a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=a_{4}-a_{3}=...=a_{n+1}-a_{n}=...

загрузка...

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел (f:N\rightarrow R, f - функция натурального аргумента). Обозначается числовая последовательность обычно через (x_{n}), где n\in N,\; x_{n}=f(n)n-й член последовательности. Формула x_{n}=f(n) называется формулой общего члена последовательности (x_{n}),\; n\in N.
Примеры числовых последовательностей

Решение иррациональных неравенств

Рассмотрим более сложные иррациональные неравенства.
Иррациональное неравенство \sqrt{f(x)}<g (x) равносильно системе неравенств, т. е.\sqrt{f(x)}<g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)>0,\\ \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}< \left ( g(x) \right )^{2} \end{matrix}\right. Иррациональное неравенство \sqrt{f(x)}>g(x) равносильно совокупности двух систем неравенств,
т. е. \sqrt{f(x)}>g(x)\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)\geq 0,\\ \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}>\left ( g(x) \right )^{2}; \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0,\\ g(x)<0. \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д. При решении можно придерживаться, например, такого плана:
а) найти область определения исходного неравенства;
б) решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;

×