Category Archives: Справочник по математике для школьников и абитуриентов

Графическое решение неравенств второй степени

Графическое решение неравенств второй степени
Как известно, графиком квадратичной функций y=ax^{2}+bx+c является парабола с ветвями, направленными вверх, если a>0, и вниз, если a<0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если a>0 и выпуклостью вверх, если a<0). При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ox (т. е. уравнение ax^{2}+bx+c=0 имеет два различных корня), парабола имеет вершину на оси Ox (т. е. уравнение ax^{2}+bx+c=0 имеет один корень, так называемый двукратный корень), парабола не пересекает ось Ox (т. е. уравнение ax^{2}+bx+c=0 не имеет действительных корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, которые представлены на рис.1—2 (D=b^{2}-4ac — дискриминант квадратного трехчлена ax^{2}+bx+c).

Неравенства второй степени

Неравенства второй степени
Пусть требуется решить неравенство ax^{2}+bx+c>0 (аналогичные рассуждения проводятся при решении неравенств ax^{2}+bx+c\geq0, ax^{2}+bx+c\leq0, ax^{2}+bx+c<0). В зависимости от знака дискриминанта квадратного трехчлена D=b^{2}-4ac нужно рассмотреть два случая.
1) Если D<0, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях x выполняется неравенство ax^{2}+bx+c>0.

Геометрическая интерпретация неравенств

Геометрическая интерпретация неравенств
Решение неравенств можно показать геометрически на числовой оси. Так, если мы имеем строгое неравенство x>a, то геометрически это множество изображается в виде той части числовой прямой, которая лежит справа от точки с абсциссой x=a. При этом правее точки x=a наносят штриховку (рис. 1), а саму точку x=a обычно изображают в виде светлого кружка (говорят, что точку x=a «выкалывают»).

Система и совокупность неравенств с одной переменной

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждому из этих неравенств (т. е. если отыскиваются все общие решения исходных неравенств).
Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупностъ неравенств, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из этих неравенств.

загрузка...

Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным

Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным
Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида ax>b (или ax<b, ax \leq b, ax \geq b). Если a > 0, то неравенство ax > b \Leftrightarrow x>\frac{b}{a} \Leftrightarrow x \in \left(\frac{b}{a}; \propto \right).
Если a < 0, то неравенство ax > b \Leftrightarrow x<\frac{b}{a} \Leftrightarrow x \in \left( - \propto; \frac{b}{a} \right). Если a = 0, то неравенство принимает вид 0\cdot x>b и оно верно для любого x\in \left(-\propto ; +\propto \right), если b<0, и не имеет решений, если b>0.

Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную. Неравенства с переменными называют иногда функциональными неравенствами.
Пусть дано неравенство с одной переменной f(x) > g(x) (вместо знака > могут быть знаки <,\: \leq ,\geq). Областью определения неравенства f(x) > g(x) называется пересечение областей определения функций f(x) и g(x).

Симметрические системы уравнений

Выражение f(x,y) называется симметрическим, если при замене х на у, у на х оно не изменяется.

Примеры симметрических выражений
f(x,y)=x+y; f(x,y) = х² +у²; f(x,y) = x³+y³;

828
Выражения (х+у) и ху называются основными симметрическими многочленами с двумя переменными. Все симметрические выражения с двумя переменными выражаются через основные симметрические многочлены, например:
830
Симметрической системой уравнений называется система, все уравнения которой симметрические. Решать симметрическую систему можно, например, с помощью замены переменных, где новыми переменными являются основные симметрические многочлены.

загрузка...
!--noindex-->