Category Archives: Элементарная математика

Стандартные обозначения и названия наиболее распространенных числовых множеств

Числовым множеством называется множество, элементы которого есть числа.
Для распространенных числовых множеств применяют следующие обозначения и названия.
1. N ={1;2;3;...n;...} — множество всех натуральных чисел.
2. Z={0;±1;±2;±3;...;±n;...} — множество всех целых чисел.
3. Zo={0;1;2;3;...} — множество всех неотрицательных целых чисел.
4. Q={m/n|mϵZ, nϵN} — множество всех рациональных чисел.
5. Qo={m/n|mϵZo,nϵN} — множество всех неотрицательных рациональных чисел.
6. R={x|-∞

Конечные и бесконечные множества. Подмножества

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество можно задать перечислением всех его элементов. Бесконечные множества определяются при помощи свойств. При задании таких множеств выписывается или несколько первых элементов, или записывают элемент и свойство, которым обладают элементы данного множества.
Пример 1. А ={зима, весна, лето, осень} — множество времен года, конечное множество.
Пример 2. Z ={0;±1;±2;...} — множество всех целых чисел, бесконечное множество.
Пример 3. {2n| nєZ} - множество всех четных чисел, бесконечное множество.
Пример 4. {2n+1| nєZ} — множество всех нечетных чисел, бесконечное множество.
Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Записывается это так:

Основные способы задания множеств

Существует два основных способа задания (описания) множеств.
1) Множество А определяется непосредственно перечислением всех своих элементов
image042
т.е. записывается в виде
image044
Например, запись {1; 3; 5; 7; 9} означает множество, состоящее из элементов 1, 3, 5, 7, 9.
2) Множество А определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества U, которые обладают свойством α(х). В этом случае используются обозначения:

Примеры множеств, элементы множества, пустое множество

Понятие множества — одно из основных понятий математики, которое не определяется. Множество можно представить себе как совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-нибудь признаку. При этом предполагается, что объекты данной совокупности отличаются друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.
Приведем примеры множеств.
Пример 1. Множество планет Солнечной системы.
Пример 2. Множество книг в данной библиотеке.
Пример 3. Множество всех натуральных чисел.
Пример 4. Множество решений уравнения х² - 5х + 6 = 0.
Пример 5. Множество времен года.
Множества состоят из элементов. Так, элементами множества решений уравнения х² - 5х + 6 = 0 являются числа 2 и 3. Элементами множества однозначных натуральных чисел являются числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

загрузка...

Действия с действительными числами (сложение, вычитание, умножение, деление)

При сложении действительных чисел с одинаковыми знаками нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак. Например, (+3)+(+8)=+11; (-4)+(-9)=-13.
При сложении двух действительных чисел с разными знаками модуль суммы равен разности модулей слагаемых. Знак суммы есть знак слагаемого, где модуль больше. Например, (+3)+(-9)=-6; (+11)+(-7)=+4.
Вычитание действительных чисел можно заменить сложением: a- b = а + (-b), то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например:
(+3)-(-8)=(+3)+(+8)=11; (+4)-(+9)=(+4)+(-9)=-5.
При умножении (делении) двух действительных чисел нужно умножить (разделить) их модули. Перед результатом нужно поставить знак по правилу знаков из таблицы знаков.

Модуль (абсолютная величина) действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥ 0, и противоположное число -а, если а < 0. Модуль числа а обозначается |a|. image030
Например, |7| = 7 так как 7 ≥ 0; |-7|= —(—7) = 7 , т.к. —7 < 0 ;
image034

Геометрически |а| означает расстояние на координатной прямой от начала отсчета до точки, изображающей число а.
Свойства модулей:

Свойства числовых неравенств

Для любых действительных чисел a, b, с, d выполняются следующие свойства.
1) Если а > Ь, то b < а . 2) Если а> b и b > с, то а> с (свойство транзитивности).
3) Если а> Ь, то а + с > b + с .
4) Если а> b и с>0, то ас > bс. Это свойство означает, что если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
5) Если а> b и с<0, то ac < bc. Это свойство означает, что если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. 6) Если а> b и с > d, то а + с > b + d. Это свойство означает, что неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
7) Если а, Ь, с, d — положительные числа, причем а > b и c > d, то aс > bd. Это свойство означает, что неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно умножать.

загрузка...