Category Archives: Высшая математика

Поверхности вращения. Основные формулы

Поверхности вращения

Пусть в плоскости yOz дана линия L, имеющая уравнение F(Y,Z)=0. Тогда, чтобы получить уравнение поверхности, образо­ванной вращением линии L, лежащей в плоскости yOz вокруг оси Оу, нужно в уравнении этой линии заменить Z на \pm \sqrt{X^{2}+Z^{2}}. Искомое уравнение поверхности вращения будет:
F(Y;\sqrt{X^{2}+Z^{2}})=0.\; \; \; (10)
Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к по­верхностям, полученным вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

1. Сфера. Сферой или шаровой поверхностью называется гео­метрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром сферы.
а) Уравнение сферы имеет вид:

Цилиндрические и конические поверхности. Основные формулы

Цилиндрические и конические поверхности. Основные формулы

Поверхностью называется геометрическое место точек, коорди­наты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y,z)=0 или z=f(x,y).   (1)
Линия в пространстве определяется совокупностью двух урав­нений

\left\{\begin{matrix} F_{1}(x;y;z)=0,\\ F_{2}(x;y;z)=0; \end{matrix}\right.\;\;\;(2)


каждое из которых определяет некоторую поверхность.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описы­ваемая прямой (образующей), параллельной данному направлению и пересекающей данную линию (направляющую).
Всякая цилиндрическая поверхность, образующие которой па­раллельны оси Oz (соответственно Оу, Ох), может быть представле­на уравнением

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 3

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 3
Задача №1. Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее:
a)

\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{1},\; \; \; 3x-y+2z+5=0;


б)

\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{2},\; \; \; 4x+2y+z+24=0;


в)

\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+5}{2},\; \; \; 4x+y-z=0.


Решение задачи №1 подробно изложено в следующем видео

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 2

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 2
Задача №1. Определить косинус угла между двумя пря­мыми:

\left\{\begin{matrix} 3x-4y-2z=0,\\ 2x+y-2z=0 \end{matrix}\right.


и

\left\{\begin{matrix} 4x+y-6z-2=0,\\ y-3z-2=0. \end{matrix}\right.


Задача №2. Проверить, лежат ли прямые

загрузка...

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 1

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 1
Задача №1. Построить прямую, заданную общими уравне­ниями

\left\{\begin{matrix} x+3y+3z-6=0,\\ 3x+3y+4z-10=0. \end{matrix}\right.


Построение. Так как две данные плоскости, не параллельные между собой (не выполня­ется условие параллельности двух плоскостей), то в пе­ресечении они дают прямую.
Построим каждую из данных плоскостей. Первая плоскость на осях координат отсекает отрезки а = 6, b = 2, c = 2. Вторая плоскость отсекает отрезки

a_{1}=3\frac{1}{3},\; b_{1}=3\frac{1}{3},\; c=2\frac{1}{2}.


Линия MN пересечения данных плоскостей и есть ис­комая прямая.
Задача №2. Как расположены следующие прямые:

Прямая и плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Прямая и плоскость в пространстве".
1. Угол между прямой

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}


и плоскостью

Ax+By+Cz+D=0


определяется по формуле:

\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \; \; (1)


2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Am+Bn+Cp=0.\; \; \; (2)


3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.


4. Если даны две плоскости A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 иA_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0, то уравнение всякой плоскости, проходящей через ли­нию пересечения заданных плоскостей, имеет вид:

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda \left( A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}\right)=0,\; \; (4)


где \lambda — переменный параметр.
Уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
5. Условием, при котором две прямые

Прямая линия в пространстве. Основные формулы

1. Общие уравнения прямой.
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересе­чения двух плоскостей. В этом случае она определяется системой двух уравнений первой степени:

\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (1)


Уравнения (1), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой (рис.1).
pr_pl_02

Рис.1

2. Уравнения прямой в двух проектирующих плоскостях.
Уравнения прямой в проекциях на координатные плоскости, например, на плоскости хОz и yOz имеют вид:

загрузка...