Category Archives: Высшая математика

Непрерывность и точки разрыва функции. Практикум по математическому анализу. Урок 21

Функция \displaystyle y=f(x) называется непрерывной в точке \displaystyle x_{0}, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента \displaystyle x-x_{0}=\Delta x соответствует бесконечно малое приращение функции \displaystyle y-y_{0}=\Delta y, т. е. если
\displaystyle \underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\Delta y=\underset{\Delta x \to 0 }{\textrm{lim}}\left [ f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \right ]=0.
Этому определению равносильно следующее:

Сравнение бесконечно малых. Практикум по математическому анализу. Урок 20

Чтобы сравнить между собой бесконечно малые величины \displaystyle \alpha и \displaystyle \beta, находят предел их отношения. При этом:
1) если \displaystyle \textrm{lim}\frac{\alpha }{\beta }=0, то \displaystyle \alpha называется бесконечно малой высшего порядка, чем \displaystyle \beta;
2) если \displaystyle \textrm{lim}\frac{\alpha }{\beta }=\infty, то \displaystyle \alpha называется бесконечно малой низшего порядка, чем \displaystyle \beta;

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 19

Рассмотрим случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет степень, основание которой стремится к единице, а показатель — к бесконечности (случай \displaystyle 1^{\infty }).
В этом случае для нахождения предела функции используется 2-й замечательный предел:
\displaystyle \underset{n \to \infty }{\textrm{lim}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=\underset{\alpha \to 0 }{\textrm{lim}}(1+\alpha )^{\frac{1}{\alpha }}=e.

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 18

Случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин (случай \displaystyle \infty -\infty)
Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 2 }{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^{2}-4} \right );
2) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\left ( x-\sqrt{x^{2}+5x} \right );
3) \displaystyle \underset{\alpha \to \frac{\pi }{2}-0 }{\textrm{lim}}\left (\sqrt{tg^{2}\: \alpha +sec\: \alpha } -tg\: \alpha \right );
4) \displaystyle \underset{x \to 0 }{\textrm{lim}}\left (2 \textrm{cosec}\: 2x-\textrm{ctg}\: x\right ).

загрузка...

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 17

Случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай \displaystyle 0\cdot \infty).
Этот случай вычисления предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных ранее (в предыдущих уроках)случаев, т. е. к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или к случаю \displaystyle \frac{\infty }{\infty }.
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2};
2) \displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right );

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 16

Рассмотрим случай, когда, при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай \displaystyle \frac{\infty }{\infty }).
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x};
2) \displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}};
3) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}};

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 15

Рассмотрим случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай \displaystyle \frac{0}{0}).
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахождение предела отношения бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента является одним из основных средств для изучения функций.
Пример 1. Найти следующие пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4};
2) \displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5};
З) \displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2};
4) \displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}.

загрузка...