Category Archives: Высшая математика

Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 10

Пример 1. Полагая n=0,1,2,3,..., составить таблицу значений переменных
\displaystyle x=1+0,1^{n};y=-0,1^{-n}; z=(-0,1)^{n},u=(-1)^{n}+0,1^{n} и определить характер их изменения при неограниченном увеличении n, т. е. при \displaystyle n\rightarrow \infty.
Решение. Вычисляя значения заданных переменных при указанных значениях n, получим следующую таблицу:

Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Практикум по математическому анализу. Урок 9

Переменная как упорядоченное числовое множество. Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции

Переменная величина определяется не только множеством тех числовых значений, которые она принимает, но и тем порядком, в котором они следуют друг за другом. Поэтому в математическом анализе переменная рассматривается как множество чисел, расположенных в известной последовательности, m. е. как упорядоченное числовое множество.

Построение графика функции путем сдвига и деформации графика другой функции. Практикум по математическому анализу. Урок 8

Зная график какой-либо функции, можно построить графики многих других более сложных функций чисто геометрическим путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции y=f(x), можно посредством его сдвига или деформации построить графики для функций вида y=f(x-a), y=f(x)+b, y=Af(x), y=f(kx), y=Af[k(x-a)]+b.

Построение графика функции по точкам (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 7

Пример 1. Построить на одном чертеже графики функций \displaystyle y_{1}=1+\frac{1}{2}x и \displaystyle y_{2}=\sin x. Путем сложения ординат полученных линий построить график функции \displaystyle y=1+\frac{1}{2}x+\sin x.
Решение. График всякой линейной функции есть прямая линия. Поэтому для построения графика первой данной функции, которая является линейной, достаточно иметь две пары соответствующих друг другу значений переменных, т. е. две точки.

загрузка...

Построение графика функции по точкам. Практикум по математическому анализу. Урок 6

Наглядное графическое изображение функциональной зависимости между двумя переменными x и y можно получить, рассматривая значения этих переменных как координаты точек на плоскости.
Графиком функции, заданной уравнением y=f(x), называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую линию.

Область определения функции. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 5

Пример 1. Найти область определения каждой из следующих функций:
1) \displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}; 2) \displaystyle u=\frac{x-1}{x^{2}-5x+6}+\sqrt[3]{2x+1}; 3) \displaystyle v=arccos\frac{1-2x}{3}; 4) \displaystyle p=\frac{x}{\sin x}; 5) \displaystyle q=log_{2}(x^{2}-9).
Решение.
1) Поскольку аргумент x содержится под радикалом четной степени, то функция y будет иметь вещественные значения только при тех значениях x, при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т.е. \displaystyle 1-x^{2}\geq 0. Решая это неравенство, получим

Область определения (существования) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 4

Областью определения функции называется совокупность всех точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет не вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для функции \displaystyle y=\sqrt{x} областью определения является полуоткрытый интервал \displaystyle 0\leq x<+\infty; для функции \displaystyle z=\frac{1}{x-1} область определения состоит из двух интервалов: \displaystyle -\infty <x<1 и \displaystyle 1<x<+\infty.

загрузка...