Category Archives: Высшая математика

Построение графика функции по точкам (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 7

Пример 1. Построить на одном чертеже графики функций \displaystyle y_{1}=1+\frac{1}{2}x и \displaystyle y_{2}=\sin x. Путем сложения ординат полученных линий построить график функции \displaystyle y=1+\frac{1}{2}x+\sin x.
Решение. График всякой линейной функции есть прямая линия. Поэтому для построения графика первой данной функции, которая является линейной, достаточно иметь две пары соответствующих друг другу значений переменных, т. е. две точки.

Построение графика функции по точкам. Практикум по математическому анализу. Урок 6

Наглядное графическое изображение функциональной зависимости между двумя переменными x и y можно получить, рассматривая значения этих переменных как координаты точек на плоскости.
Графиком функции, заданной уравнением y=f(x), называется совокупность всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Обычно график функции представляет некоторую плоскую линию.

Область определения функции. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 5

Пример 1. Найти область определения каждой из следующих функций:
1) \displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}; 2) \displaystyle u=\frac{x-1}{x^{2}-5x+6}+\sqrt[3]{2x+1}; 3) \displaystyle v=arccos\frac{1-2x}{3}; 4) \displaystyle p=\frac{x}{\sin x}; 5) \displaystyle q=log_{2}(x^{2}-9).
Решение.
1) Поскольку аргумент x содержится под радикалом четной степени, то функция y будет иметь вещественные значения только при тех значениях x, при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т.е. \displaystyle 1-x^{2}\geq 0. Решая это неравенство, получим

Область определения (существования) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 4

Областью определения функции называется совокупность всех точек числовой оси, в которых она имеет определенные действительные значения.
Очевидно, для многих функций областью определения будет не вся числовая ось, а только некоторая ее часть. Так, для функции \displaystyle y=\sqrt{x} областью определения является полуоткрытый интервал \displaystyle 0\leq x<+\infty; для функции \displaystyle z=\frac{1}{x-1} область определения состоит из двух интервалов: \displaystyle -\infty <x<1 и \displaystyle 1<x<+\infty.

загрузка...

Переменные величины и функции, их обозначение. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 3

Пример 3. Найти корни \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} функции \displaystyle F(x)=x^{2}+10x+9 и вычислить ее частные значения при x, равном среднему арифметическому и среднему геометрическому этих корней.
Решение. Корнями функции называются значения аргумента, которые обращают ее в нуль.
Определим корни функции \displaystyle F(x), приравняв ее нулю:

Переменные величины и функции, их обозначение. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 2

Пример 1. Определить и построить на числовой оси области изменения переменных x,t и a, заданные следующими неравенствами:
\displaystyle 1)\: x^{2}\leq 4;\: 2)\: \left | t-1 \right |>0;\: 3)\: -9\leq 1-2\alpha <5.
Решение. 1) Извлекая квадратный корень из обеих частей первого неравенства, получим \displaystyle \left | x \right |\leq 2. Отсюда следует, что \displaystyle -2\leq x\leq 2. Эти неравенства и определяют собой область изменения переменной x, т. е. совокупность принимаемых ею числовых значений.

Переменные величины и функции, их обозначение. Практикум по математическому анализу. Урок 1

Интервалом от a до b называется совокупность всех чисел x, удовлетворяющих одному из следующих двойных неравенств:
1) \displaystyle a\leq x\leq b; 2) \displaystyle a<x <b; 3) \displaystyle a\leq x<b; 4) \displaystyle a<x\leq b. Закрытый интервал 1 называется отрезком и обозначается \displaystyle [a,b]; открытый интервал 2 обозначается \displaystyle (a,b); полуоткрытые интервалы 3 и 4 обозначаются соответственно \displaystyle [a,b) и \displaystyle (a,b].

загрузка...