Category Archives: Практикум по математическому анализу

Касательная к плоской кривой (решение задач). Практикум по математическому анализу. Урок 37

Задача 1. В каких точках кривой \displaystyle x=t-1,\: y=t^{3}-12t+1 касательная параллельна: 1) оси Ox; 2) прямой \displaystyle 9x+y+3=0?
Решение. Используем здесь условие параллельности прямых, заключающееся в равенстве их угловых коэффициентов.
Найдем производную от y по x из уравнений кривой:
\displaystyle y'=\frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt}=\frac{3t^{2}-12}{1}=3t^{2}-12.

Угол между двумя кривыми. Практикум по математическому анализу. Урок 36

Угол между двумя пересекающимися кривыми определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения (рис. 1) по формуле

\displaystyle tg\: \varphi =\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}},\; \; (2)


где \displaystyle k_{1} и \displaystyle k_{2} — угловые коэффициенты касательных к кривым в точке их пересечения \displaystyle P(x_{0},y_{0}),
т. е. частные значения в точке \displaystyle x_{0} производных от y по x из уравнений этих кривых:

\displaystyle k_{1}=tg\: \alpha _{1}=\left ( \frac{dy_{1}}{dx} \right )_{x=x_{0}};\; k_{2}=tg\: \alpha _{2}=\left ( \frac{dy_{2}}{dx} \right )_{x=x_{0}}.

Касательная и нормаль к плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 35

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат (рис. 1), то уравнения касательной и нормали к ней в точке \displaystyle M(x_{0},y_{0}) имеют вид:

\displaystyle y-y_{0}=y_{0}(x-x_{0});\; y-y_{0}=-\frac{1}{y'_{0}}(x-x_{0}),\; \; (1)


где \displaystyle y'_{0} — значение в точке \displaystyle x_{0} производной \displaystyle \frac{dy}{dx} из уравнения кривой.

Производные от функции, заданной параметрически. Практикум по математическому анализу. Урок 34

Если функция y от независимой переменной x задана через посредство вспомогательной переменной (параметра) t:

\displaystyle x=f(t),\: y=\varphi (t),


то производные от y по x определятся формулами:

\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y''=\frac{dy'}{dx}=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}};\; y'''=\frac{dy''}{dx}=\frac{\frac{dy''}{dt}}{\frac{dx}{dt}};...\; \; (A)

загрузка...

Производные неявной функции. Практикум по математическому анализу. Урок 33

Если у есть неявная функция от x, т. е. задана уравнением \displaystyle f(x,y)=0, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной \displaystyle \frac{dy}{dx} нужно продифференцировать по x обе части равенства, помня, что y есть функция от x и затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной. Как правило, она будет зависеть от x и y; \displaystyle \frac{dy}{dx}=\varphi (x,y).

Производные высших порядков. Практикум по математическому анализу. Урок 32

Если \displaystyle y' есть производная от функции \displaystyle y=f(x), то производная от \displaystyle y' называется второй производной, или производной второго порядка от первоначальной функции y, и обозначается \displaystyle y'' или \displaystyle f''(x), или \displaystyle \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:

Логарифмическое дифференцирование. Практикум по математическому анализу. Урок 31

Дифференцирование многих функций значительно упрощается, если их предварительно прологарифмировать.
Если требуется найти \displaystyle y' из уравнения \displaystyle y=f(x), то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения (по основанию /(e/));
\displaystyle \ln y=\ln f(x)=\varphi (x);
б) дифференцировать обе части полученного равенства, где \displaystyle \ln y есть сложная функция от /(x/),
\displaystyle \frac{y'}{y}=\varphi '(x) (согласно формуле 11);
в) заменить y его выражением через \displaystyle x и определить \displaystyle y':
\displaystyle y'=y\varphi '(x)=f(x)\varphi '(x).