Category Archives: Практикум по математическому анализу

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 17

Случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую (случай \displaystyle 0\cdot \infty).
Этот случай вычисления предела функции приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных ранее (в предыдущих уроках)случаев, т. е. к случаю \displaystyle \frac{0}{0} или к случаю \displaystyle \frac{\infty }{\infty }.
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 1 }{\textrm{lim}}(1-x)\cdot tg\: \frac{\pi x}{2};
2) \displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}(\frac{\pi }{4}-x)\cdot cosec\: \left (\frac{3}{4}\pi +x \right );

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 16

Рассмотрим случай, когда, при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай \displaystyle \frac{\infty }{\infty }).
Пример 1. Найти пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x};
2) \displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}};
3) \displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}};

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 15

Рассмотрим случай, когда при \displaystyle x \to a или \displaystyle x \to \infty функция f(x) представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай \displaystyle \frac{0}{0}).
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахождение предела отношения бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента является одним из основных средств для изучения функций.
Пример 1. Найти следующие пределы:
1) \displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4};
2) \displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5};
З) \displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2};
4) \displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}.

Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 14

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции f(x) при x, стремящемся к значению a, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при x=a. т. е.

загрузка...

Теоремы о бесконечно малых и о пределах. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 13

Пример 2. При \displaystyle n \to +\infty найти пределы следующих функций:
1) \displaystyle S_{1}(n)=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-1}{n};
2) \displaystyle S_{2}(n)=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}};
3) \displaystyle S_{3}(n)=\frac{1}{n^{3}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{3}{n^{3}}+...+\frac{n-1}{n^{3}}.

Теоремы о бесконечно малых и о пределах. Практикум по математическому анализу. Урок 12

Теоремы о бесконечно малых и о пределах

I. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая.
II. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть также бесконечно малая.
III. Предел постоянной равен самой постоянной.

Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 11

Пример 3. Доказать, что:
1) \displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{2x+3}{3x}=\frac{2}{3}.
2) \displaystyle \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}(2x+1)=7.
Решение.
1) Составим разность \displaystyle \frac{2x+3}{3x}-\frac{2}{3}=\frac{1}{x}. При \displaystyle x \to \infty эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная бесконечно большой.

загрузка...