Архив категории: Справочник по теории вероятностей

Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 2

Задача №1. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 3 :2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 2 из 45 легковых автомашин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться?
Решение. Рассмотрим события:
B_{1} - к бензоколонке подъехала грузовая автомашина;
B_{2} - к бензоколонке подъехала легковая автомашина;
A - подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться.

Решение задач на формулу полной вероятности. Часть 1

Задача №1. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 35% общего количества электроламп, второй - 50% и третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80% и третьего - 90%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что
а) наудачу взятая лампа изготовлена на первом заводе и является стандартной;
б) купленная в магазине лампа является стандартной?

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности
Вероятность события A, которое может наступить при условии появления одного из n несовместных событий (гипотез) B_{i}, образующих полную группу, находят по формуле полной вероятности:

P(A)=\sum_{i=1}^{n}{P(B_{i})\cdot P_{B_{i}}(A)}.\; \; \; \; (1)

Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 7

Задача №1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется набрать номер не более, чем три раза?
Решение. Обозначим событие:
C - абоненту придется набрать номер не более, чем три раза.
Это событие состоит в том, что абоненту придется набрать номер или один, или два, или три раза. Рассмотрим следующие события:
C_{1} - абонент будет набирать номер один раз;
C_{2} - абонент будет набирать номер два раза;
C_{3} - абонент будет набирать номер три раза;
\bar{C_{1}} - в первый раз не набрана нужная цифра;
A - во второй раз набрана нужная цифра;
\bar{A} - во второй раз не набрана нужная цифра;
B - в третий раз набрана нужная цифра.
Событие C представляет собой сумму несовместных событий C_{1}, C_{2} и C_{3}: C = C_{1} + C_{2} + C_{3}. Вероятность события C_{1} согласно формуле (1) равна P(C_{1}) = 1/10.
Событие C_{2} состоит в том, что в первый раз нужная цифра не набрана, а во второй - набрана. Это означает, что C_{2} представляет собой произведение событий \bar{C_{1}} и A: C_{2}=\bar{C_{1}}\cdot A. Вероятность события \bar{C_{1}} равна P(\bar{C_{1}})=9/10. Событие A является зависимым от события \bar{C_{1}}; условная вероятность P_{\bar{C_{1}}}(A)=1/9. Вероятность события C_{2} найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий, применив формулу (5), получим: P(C_{2})=P(\bar{C_{1}})P_{\bar{C_{1}}}(A)=\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{10}.
Событие C_{3} состоит в том, что и в первый, и во второй раз нужная цифра не набрана, а в третий раз - набрана. Это означает, что C_{3} представляет собой произведение зависимых событий \bar{C_{1}}, \bar{A} и B: C_{3}=\bar{C_{1}}\cdot \bar{A}\cdot B. Условная веpoятнocть P_{\bar{C_{1}}}(A)=8/9; условная вероятность
P_{\bar{C_{1}\cdot A}}(B)=1/8. Вероятность наступления события C_{3} найдем по теореме
умножения вероятностей зависимых событий. Применив формулу (7), получим:
P(C_{3})=P(\bar{C_{1}})\cdot P_{\bar{C_{1}}}(\bar{A})\cdot P_{\bar{C_{1}\cdot \bar{A}}}(B)=\frac{9}{10}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{10}.
Искомую вероятность события C найдем по теореме сложения вероятностей несовместных событий. Согласно формуле (9) эта вероятность равна

P(C)=P(C_{1})+P(C_{2})+P(C_{3})=0,1+0,1+0,1=0,3.


Задача №2. В настольной игре забивают в лунку шарики. Вероятность того, что из четырех шариков ребенок забьет в лунку хотя бы один, равна 0,9919. Какова вероятность забить в лунку каждый из шариков в отдельности, ecли принять, что для всех попыток вероятность забить в лунку шарик одна и та же?
Решение. Рассмотрим события:
A_{k} - попадание в лунку k-го шарика (k = 1,2,3,4);
\bar{A_{k}} - непопадание в лунку k -го шарика;
B - попадание в лунку хотя бы одного шарика из четырех;
\bar{B} - непопадание в лунку ни одного шарика из четырех.
По условию P(B)=0,9919. Требуется найти P(A_{k}) принимая, что P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=P(A_{4}). Обозначим: P(A_{k})=p,\; P(\bar{A_{k}})=1-p=q.
Событие \bar{B} представляет собой произведение четырех независимых событий \bar{A_{k}}: \bar{B}=\bar{A_{1}}\cdot \bar{A_{2}}\cdot \bar{A_{3}}\cdot \bar{A_{4}}.
По теореме умножения вероятностей независимых событий получим: P(\bar{B})=q^{4}.
Вероятность события B равна P(B)=1-P(\bar{B})=1-q^{4}. Следовательно, 1-q^{4}=0,9919. Из последнего уравнения найдем q = 0,3. По известному значению q найдем P(A_{k})=p=1-q=0,7.

загрузка...

Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 6

Задача №1. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной дефектной детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность того, что данная партия не будет принята, если она содержит 3% дефектных деталей?

Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 5

Задача №1. Отдел технического контроля фабрики проверяет половину изделий некоторой партии (для проверки изделия из партии берут наудачу) и признает годной всю партию, если среди проверенных изделий будет не более одного бракованного. Какова вероятность того, что плутая из 20 изделий, в которой имеется 2 бракованных, будет признана годной?

Решение задач на сложение и умножение вероятностей. Часть 4

Задача №1. Случайно смешаны кусты рассады двух сортов томатов: 9 кустов рассады сорта Белый налив и 7 - сорта Верлиока. Найти вероятность того, что первые три, посаженные друг за другом куста томатов, являются рассадой сорта Белый налив.
Решение. Испытание состоит в посадке одного куста рассады томата. Рассмотрим события:
A_{1} - куст, посаженный первым, - рассада томата сорта Белый налив;
A_{2} - куст, посаженный вторым, - рассада томата сорта Белый налив;
A_{3} - куст, посаженный третьим, - рассада томата сорта Белый налив;
A - все три посаженные друг за другом куста являются рассадой томата сорта Белый налив.

×