Category Archives: Практикум по аналитической геометрии

Поверхности второго порядка. Решение типовых задач. Часть 2

Решения типовых задач по теме "Поверхности второго порядка". Часть 1
Задача №1. Исследовать и построить поверхность, задан­ную уравнением

z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}.


Решение задачи №1 подробно изложено в следующем видео

Поверхности второго порядка. Решение типовых задач. Часть 1

Решения типовых задач по теме "Поверхности второго порядка". Часть 1
Задача №1. Найти геометрическое место точек, находя­щихся на расстоянии 4 единиц от плоскости xOz и на расстоянии 3 единиц от точки А (2; 5; —1).
Задача №2. Составить уравнение сферической поверхно­сти, проходящей через окружность

\left\{\begin{matrix} x^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2}=36,\\ x-2y-z+1=0 \end{matrix}\right.


и точку (1; 1; -3), а также найти ее центр и радиус.

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Основные формулы

poverhn037

Рис.1                    Рис.2

Прямолинейной образующей поверхности называется прямая линия, целиком лежащая на данной поверхности.
Например, прямолинейные образующие конической и цилиндри­ческой поверхности.
Однополостный гиперболоид (рис.1,2)

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1


имеет два семейства прямолинейных образующих:

Поверхности вращения. Основные формулы

Поверхности вращения

Пусть в плоскости yOz дана линия L, имеющая уравнение F(Y,Z)=0. Тогда, чтобы получить уравнение поверхности, образо­ванной вращением линии L, лежащей в плоскости yOz вокруг оси Оу, нужно в уравнении этой линии заменить Z на \pm \sqrt{X^{2}+Z^{2}}. Искомое уравнение поверхности вращения будет:
F(Y;\sqrt{X^{2}+Z^{2}})=0.\; \; \; (10)
Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к по­верхностям, полученным вращением плоских линий вокруг других координатных осей.

Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

1. Сфера. Сферой или шаровой поверхностью называется гео­метрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки, называемой центром сферы.
а) Уравнение сферы имеет вид:

загрузка...

Цилиндрические и конические поверхности. Основные формулы

Цилиндрические и конические поверхности. Основные формулы

Поверхностью называется геометрическое место точек, коорди­наты которых удовлетворяют уравнению
F(x,y,z)=0 или z=f(x,y).   (1)
Линия в пространстве определяется совокупностью двух урав­нений

\left\{\begin{matrix} F_{1}(x;y;z)=0,\\ F_{2}(x;y;z)=0; \end{matrix}\right.\;\;\;(2)


каждое из которых определяет некоторую поверхность.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описы­ваемая прямой (образующей), параллельной данному направлению и пересекающей данную линию (направляющую).
Всякая цилиндрическая поверхность, образующие которой па­раллельны оси Oz (соответственно Оу, Ох), может быть представле­на уравнением

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 3

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 3
Задача №1. Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее:
a)

\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{1},\; \; \; 3x-y+2z+5=0;


б)

\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{2},\; \; \; 4x+2y+z+24=0;


в)

\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+5}{2},\; \; \; 4x+y-z=0.


Решение задачи №1 подробно изложено в следующем видео

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 2

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 2
Задача №1. Определить косинус угла между двумя пря­мыми:

\left\{\begin{matrix} 3x-4y-2z=0,\\ 2x+y-2z=0 \end{matrix}\right.


и

\left\{\begin{matrix} 4x+y-6z-2=0,\\ y-3z-2=0. \end{matrix}\right.


Задача №2. Проверить, лежат ли прямые