Архив категории: Практикум по аналитической геометрии

Прямая в пространстве. Решения типовых задач. Часть 1

Решения типовых задач по теме "Задание прямой в пространстве". Часть 1
Задача №1. Построить прямую, заданную общими уравне­ниями

\left\{\begin{matrix} x+3y+3z-6=0,\\ 3x+3y+4z-10=0. \end{matrix}\right.


Построение. Так как две данные плоскости, не параллельные между собой (не выполня­ется условие параллельности двух плоскостей), то в пе­ресечении они дают прямую.
Построим каждую из данных плоскостей. Первая плоскость на осях координат отсекает отрезки а = 6, b = 2, c = 2. Вторая плоскость отсекает отрезки

a_{1}=3\frac{1}{3},\; b_{1}=3\frac{1}{3},\; c=2\frac{1}{2}.


Линия MN пересечения данных плоскостей и есть ис­комая прямая.
Задача №2. Как расположены следующие прямые:

Прямая и плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Прямая и плоскость в пространстве".
1. Угол между прямой

\frac{x-a}{m}=\frac{y-b}{n}=\frac{z-c}{p}


и плоскостью

Ax+By+Cz+D=0


определяется по формуле:

\sin \phi =\frac{\left|Am+Bn+Cp \right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}\cdot \sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}.\; \; \; (1)


2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

Am+Bn+Cp=0.\; \; \; (2)


3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}.


4. Если даны две плоскости A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 иA_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0, то уравнение всякой плоскости, проходящей через ли­нию пересечения заданных плоскостей, имеет вид:

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}+\lambda \left( A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}\right)=0,\; \; (4)


где \lambda — переменный параметр.
Уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
5. Условием, при котором две прямые

Прямая линия в пространстве. Основные формулы

1. Общие уравнения прямой.
Прямая линия в пространстве определяется как линия пересе­чения двух плоскостей. В этом случае она определяется системой двух уравнений первой степени:

\left\{\begin{matrix} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \end{matrix}\right.\; \; \; (1)


Уравнения (1), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой (рис.1).
pr_pl_02

Рис.1

2. Уравнения прямой в двух проектирующих плоскостях.
Уравнения прямой в проекциях на координатные плоскости, например, на плоскости хОz и yOz имеют вид:

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Пучок плоскостей. Часть 4

Решение типовых задач по теме "Задание плоскости в пространстве". Часть 4
Задача №1. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей Зx+y+z-4=0, x+3z-5=0 и отсекающей на осях Ох и Оу равные от­резки.
Решение. Уравнение пучка плоскостей, проходя­щих через линию пересечения двух данных плоскостей, имеет вид:

3x+y+z-4+\lambda (x+3z-5)=0,


или

(3+\lambda )x+y+(1+3\lambda )z-(4+5\lambda)=0.


Запишем это уравнение в виде уравнения в отрезках:

\frac{(3+\lambda )x}{4+5\lambda }+\frac{y}{4+5\lambda }+\frac{(1+3\lambda )z}{4+5\lambda }=1,


или

\frac{x}{\frac{4+5\lambda }{3+\lambda }}+\frac{y}{4+5\lambda }+\frac{z}{\frac{4+5\lambda }{1+3\lambda }}=1.


Согласно условию, отрезки, отсекаемые на осях Ох и 0y, равны, т. е.

\frac{4+5\lambda }{3+\lambda }=4+5\lambda ,\; 1=3+\lambda ,\; \lambda =-2.


Таким образом, искомым уравнением плоскости яв­ляется уравнение:

загрузка...

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Часть 3

Решение типовых задач по теме "Задание плоскости в пространстве". Часть 3
Задача №1. Даны две параллельные плоскости 3x + 4y-2z-1=0 и 6x+8y-4z-3=0.
Найти среднюю плоскость (т.е. параллельную данным плоскостям и расположенную между ними на равных расстояниях от них).
Решение. Пусть точка M(x;y;z) принадлежит искомой плоскости. Определим ее отклонение от каждой из данных плоскостей по формуле:

\delta =\frac{Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}.


\delta_{1} =\frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{9+16+4}}=\frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{29}}.


\delta_{2} =\frac{6x+8y-4z-3}{\sqrt{36+64+16}}=\frac{6x+8y-4z-3}{\sqrt{116}}=\frac{6x+8y-4z-3}{2\sqrt{29}}.


Так как точка М лежит между данными плоскостями, а плоскости расположены по одну сторону от начала координат.
D_{1}=-1<0,\; D_{2}=-3<0, то отклонения \delta _{1} и \delta _{2} будут противоположных знаков:

\delta _{1}=-\delta _{2},\; \frac{3x+4y-2z-1}{\sqrt{29}}=-\frac{6x+8y-4z-3}{2\sqrt{29}};


6x+8y-4z-2=-6x-8y+4z+3,\; 12x+16y-8z-5=0 — искомое уравнение.
Ответ: 12x+16y-8z-5=0.
Задача №2. Найти плоскость, параллельную двум данным параллельным плоскостям
2х+3y-z-1=0 и 4x+6y-2z+3=0 и делящую расстояние между ними в отношении 2:3.

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Часть 2

Решение типовых задач по теме "Задание плоскости в пространстве". Часть 2
Задача №1. Определить направляющие косинусы вектора, направленного из начала координат перпендикулярно к плоскости x-2y+2z-9=0.
Решение. Приводим уравнение плоскости к нормальному виду. Нормирующий множитель:

M=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}.


Умножая данное уравнение на M=\frac{1}{3}, получим нормальное уравнение плоскости:

\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z-3=0.


Здесь \cos \alpha =\frac{1}{3},\; \cos \beta =-\frac{2}{3},\; \cos \gamma =\frac{2}{3}
суть направляющие косинусы нормального вектора

\vec{n}\left\{A;B;C \right\}=\vec{n}\left\{1;-2;2 \right\}


данной плоскости.
Ответ: \vec{n}\left\{1;-2;2 \right\}.
Задача №2. Найти расстояние плоскости \left(6\vec{i}-7\vec{j}-6\vec{k} \right)\vec{r}-33=0 от начала координат и углы, которые образует с осями координат перпендикуляр, опущенный из начала координат на плоскость.
Решения задач №1 и №2 подробно изложены в следующем видео

Задача №3. Уравнение плоскости 11х-7у-9z+15=0 написать в векторной форме в общем и в нормальном видах.
Задача №4. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору \vec{n}\left\{3;4;12 \right\} и отстоящей от начала координат на расстояние р=3.
Решение. Уравнение плоскости, параллельной искомой и проходящей через начало координат, имеет вид: Зх+4у+12z=0.
Отклонение любой точки М(х;у;z) искомой плоскости Зх+4у+12z=0 равно ±3.
Тогда, воспользовавшись формулой

\delta =\frac{Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}},


будем иметь:

\pm 3 =\frac{3x+4y+12z}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}},\; \pm 3 =\frac{3x+4y+12z}{13}.


Откуда Зх+4у+12z±39=0 — искомые уравнения плоскости.
Ответ: Зх+4у+12z±39=0.
Решения задач №3 и №4 подробно изложены в следующем видео

Задача №5. Через точки М(3;-2;1) и N(0;3;5) провести плоскость, которая отсекала бы на осях Ох и Оу равные положительные отрезки.
Задача №6. Найти направляющие косинусы прямой, перпендикулярной к плоскости, которая отсекает на осях координат отрезки а=-18, b=-9, с=9.
Решение. Воспользовавшись уравнением плоскости в отрезках \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,
составим уравнение плоскости: \frac{x}{-18}+\frac{y}{-9}+\frac{z}{9}=1,
или

x+2y-2z+18=0. (1)

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду: нормирующий множитель

M=\frac{1}{\pm \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}


берем со знаком минус, так как в уравнении плоскости D= 18>0:

M=\frac{1}{- \sqrt{1+4+4}}=-\frac{1}{3}.


Теперь умножим уравнение (1) на -\frac{1}{3}. Получим:

-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z-6=0.


Направляющие косинусы перпендикуляра к плоскости имеют следующие значения:

\cos \alpha =-\frac{1}{3},\; \cos \beta =-\frac{2}{3},\; \cos \gamma =\frac{2}{3}.


Ответ: \cos \alpha =-\frac{1}{3},\; \cos \beta =-\frac{2}{3},\; \cos \gamma =\frac{2}{3}.
Решения задач №6 и №7 подробно изложены в следующем видео

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Уравнение плоскости. Часть 1

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Составить уравнение плоскости
Задача №1. Даны точки M_{1}(3;0;4) и M_{2}(5;6;9). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M_{1} и перпендикулярно к вектору M_{1}M_{2}.
Решение. Уравнение связки плоскостей, проходящей через точку M_{1}, будет

A(x-3)+B(y-0)+C(z-4)=0.


Нормальный вектор

\vec{M_{1}M_{2}}=(5-3)\vec{i}+(6-0)\vec{j}+(9-4)\vec{k}=2\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}.


Подставляем проекции 2, 6 и 5 вектора \vec{M_{1}M_{2}} на место A, В и С в уравнение связки, будем иметь:

2(x-3)+6(y-0)+5(z-4)=0


или

2x+6y+5z-26=0.


Это и есть уравнение искомой плоскости (рис.1).
plisk12

Рис.1

Ответ: 2x+6y+5z-26=0.
Задача №2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M_{1}(3;0;4), M_{2}(5;2;6) и M_{3}(2;3;-3).
Решения задач №1 и №2 подробно изложены в следующем видео

×