Category Archives: Практикум по аналитической геометрии

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Построение плоскости

Решение типовых задач по теме "Плоскость". Часть 1
Задача №1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а) 5x+2y+3z-15=0, б)3x+2y+3z-6=0, в)3z-5=0,
г) x-4y+2z=0, д)3x-z=0.
Построение. а) Чтобы построить плоскость, не проходящую через начало координат, необходимо найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. От­резок, отсекаемый плоскостью на оси Ох, мы найдем, если в уравнении плоскости положим у=0 и z=0; тогда 5х—15=0, а=х=3; аналогично, если x=0 и z=0, то b=y=7\frac{1}{2}; если х = 0; y=0, то c=z=5.

Плоскость в пространстве. Основные формулы

Основные понятия и формулы по теме "Плоскость".
Всякое уравнение первой степени между тремя переменными определяет плоскость. Обратно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.
1. Общее уравнение плоскости имеет вид:
Ах + By +Cz + D = 0. (1)
Особые случаи уравнения (1).
а) Пусть в уравнении (1) свободный член D=О, тогда получим уравнение
Ах + By + Сz = 0 (2)
плоскости, проходящей через начало координат.
б) Пусть в уравнении (1) один из коэффициентов А, В и С равен 0.
Тогда получим уравнения плоскостей, параллельных соответствующим координатным осям:

Смешанное и двойное векторное произведение векторов. Решение типовых задач

Решения типовых задач по теме: "Смешанное и двойное векторное произведение векторов"
Задача № 1. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
\vec{M}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c},\; \vec{N}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c},\; \vec{P}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}.
Решение. Так как векторное скалярное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на данных векторах, как на ребрах, то для решения данной задачи необходимо найти векторно-скалярное произведение векторов \vec{M}, \vec{N} и \vec{P}. При этом будем пользоваться следующим правилом.
Круговая перестановка трех сомножителей векторно-скалярного произведения не меняет его величины. Перестановка двух соседних множителей меняет знак произведения.
Примем еще во внимание, что векторно-скалярное произведение равно 0, если векторы компланарны.
V=\left(\vec{M}\vec{N}\vec{P} \right)=...=4\left(\vec{a}\vec{b}\vec{c} \right).
Все выкладки изложены в следующем видео:

Векторное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Векторное произведение векторов"
Задача № 1. Даны модули векторов \vec{a} и \vec{b}, \left|\vec{a} \right|=8,\; \left|\vec{b} \right|=15, и их скалярное произведение \vec{a}\vec{b}=96. Вычислить модуль векторного произведения \left|[\vec{a}\vec{b}] \right|.
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами \vec{a} и \vec{b}.
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:

\vec{a}\vec{b}=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})},


откуда

\cos \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{96}{8\cdot 15}=\frac{4}{5}.


Тогда

\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}.


Следовательно,

\left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\sin \hat{(\vec{a}\vec{b})}=8\cdot 15\cdot \frac{3}{5}=72.


Ответ: \left|[\vec{a}\vec{b}] \right|=72.
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы \vec{a} и \vec{b}, чтобы векторы 3\vec{a}+\vec{b} и \vec{a}-3\vec{b} были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

загрузка...

Скалярное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: "Скалярное произведение векторов"
Задача № 1. Векторы \vec{a} и \vec{b} образуют угол \phi =\frac{2}{3}\pi. Зная,
что \left|\vec{a} \right|=11,\; \left|\vec{b} \right|=2, вычислить:
1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b}).
2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}.
Решение. Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними, и скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, будем иметь:
1)\; (2\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=4\left|\vec{a} \right|^{2}-2\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +6\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi-
-3\left|\vec{b} \right|^{2}=4\cdot 121-2\cdot 11\cdot 2\left(-\frac{1}{2} \right)+6\cdot 11\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-3\cdot 4=484+22-66-12=506-78=428;
2)\; (2\vec{a}-5\vec{b})^{2}=4\left|\vec{a} \right|^{2}-20\left|\vec{a} \right|\left|\vec{b} \right|\cos \frac{2}{3}\pi +25\left|\vec{b} \right|^{2}=804.
Ответ: 1) 428; 2) 804.
Задача № 2. Определить, при каком значении \vec{a} векторы 3\vec{a}+\alpha \vec{b} и \vec{a}-2\vec{b} будут взаимно перпендикулярными, если \left|\vec{a} \right|=7\sqrt{2},\; \left|\vec{b} \right|=4,\; \hat{\vec{a}\vec{b}}=\frac{\pi }{4}.

Действия над векторами, заданными своими проекциями. Примеры решения задач

Примеры типовых задач по теме: "Действия над векторами, заданными своими проекциями"
Задача № 1. а) Определить точку В, которая является концом вектора \vec{a}{ 4; —3; 1}, если его начало совпадает с точкой А (3; 1; —2).
б) Определить начало М вектора \vec{b}{5; 8; 7}, если его конец совпадает с точкой N (—1; 3; 3).
Решение. а) Проекции вектора \vec{a} равны

Линейные операции над векторами. Примеры решения задач. Часть 2

Задача № 1.
Даны: \left|\vec{a} \right|=13,\; \left|\vec{b} \right|=19,\; \left|\vec{a}+\vec{b} \right|=24.\;
Вычислить \left|\vec{a}-\vec{b} \right|.\;.
Решение. Предположим, что нам даны векторы \vec{a} и \vec{b}. Найдем векторы \vec{a}+\vec{b} и \vec{a}-\vec{b}. Вектор \vec{a}+\vec{b} есть одна из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b}, вектор \vec{a}-\vec{b} — вторая его диагональ (рис.1).
vekt042

Рис.1

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

загрузка...