Category Archives: Практикум по аналитической геометрии

Линейные операции над векторами. Примеры решения задач. Часть 1

Задача № 1. По данным векторам \vec{a} и \vec{b} построить каждый из следующих векторов:
1) \vec{a}+\vec{b}; 2)\vec{a}-\vec{b}.
Решение. Пусть даны такие два вектора \vec{a} и \vec{b}.
1) \vec{a}+\vec{b}.
I способ. Помещаем начало векторов \vec{a} и \vec{b} в точку О и строим параллелограмм ОВСА. Диагональ ОС изображает сумму \vec{a}+\vec{b}.
vekt032

Рис.1

vekt034

Рис.2

II способ. Помещаем начало вектора \vec{a} в точку О, начало вектора \vec{b} совмещаем с концом вектора \vec{a}. Замыкающий вектор есть \vec{a}+\vec{b}. Его начало — в точке О, а конец совпадает с концом вектора \vec{b}.

Двойное векторное произведение трех векторов

Двойным векторным или векторно-векторным произведением трех векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c} называется выражение вида
(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} или \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}).
Для двойного векторного произведения (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c} надо сначала умножить векторно два вектора \vec{a} и \vec{b}, а затем полученное произведение еще раз умножают векторно на третий вектор \vec{c}.
Двойное векторное произведение выражается формулами

(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}=\vec{b}\left(\vec{a}\vec{c} \right)-\vec{a}\left(\vec{b}\vec{c} \right),


\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c})=\vec{b}\left(\vec{a} \vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a} \vec{b}\right)\; \; \left(1 \right)


Правило: Двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор в скобке, умноженный на скалярное произведение двух других.

Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов

Векторно-скалярным (или смешанным) произведением трех векторов \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} называется число, равное векторному произведению \left[\vec{a}\vec{b} \right], умноженному скалярно на вектор \vec{c}, т. е. \left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}.
Векторно-скалярное произведение обозначается так:

\left[\vec{a}\vec{b} \right]\vec{c}=\left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right)

.
Векторно-скалярное произведение \left(\vec{a}\vec{b} \vec{c}\right) имеет простой геометрический смысл; оно есть число, выражающее объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a}, \vec{b} и \vec{c}, взятого со знаком плюс, если тройка \vec{a}, \vec{b} и \vec{c} правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис.1).

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора \vec{a} на вектор \vec{b} называется новый вектор с, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах \vec{a} и \vec{b}, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от \vec{a} к \vec{b} вокруг полученного вектора \vec{c} представлялся происходящим против часовой стрелки, для правой системы координат, если смотреть с конца вектора \vec{c}.
vekt024

Рис.1

Векторное произведение обозначается символом

загрузка...

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению их длин, умноженному на косинус угла между ними (рис.1).
Скалярное произведение обозначается одним из трех способов

\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{ab}=\vec{\left(ab \right)}.


Если угол между векторами \vec{a} и \vec{b} обозначить через φ, то согласно определению имеем:
\vec{a}\cdot \vec{b}=ab\cos \phi .\; \; \; \left(1 \right)
vekt022

Рис.1

Из формулы (1) следует, что скалярное произведение векторов \vec{a} и \vec{b} можно выразить также формулами:

\vec{a}\cdot \vec{b}=a\Pi p_{\vec{a}}\vec{b},\; \vec{a}\cdot \vec{b}=b\Pi p_{\vec{b}}\vec{a},\; \; \; \left(2 \right)


т. е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на направление первого.
Из формулы (1) следует также, что:
а) Если \vec{a} и \vec{b} ненулевые векторы, то cкалярное произведение равно нулю только в том случае, если \vec{a} и \vec{b} перпендикулярны.
б) Если φ — острый угол, то \vec{a}\vec{b}>0.
в) Если φ — тупой угол, то \vec{a}\vec{b}<0. г) Скалярное произведение обладает свойством коммутативности (переместительности): \vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}. д) Скалярное произведение обладает свойством распределительности

\left(\vec{a}+\vec{b} \right)\cdot \vec{c}=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}.

е) Скалярное произведение обладает свойством (асоциативности) сочетательности относительно числового множителя:

\left(\vec{a}\vec{b} \right) \lambda =\vec{a}\left(\vec{b} \lambda \right)

Скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями.
Если векторы \vec{a} и \vec{b} заданы своими проекциями:

\vec{a}=x_{1}\vec{i}+y_{1}\vec{j}+z_{1}\vec{k},\; \vec{b}=x_{2}\vec{i}+y_{2}\vec{j}+z_{2}\vec{k},


то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений их одноименных проекций:

\vec{a}\vec{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.


При \vec{b}=\vec{a} имеем

\vec{a^{2}}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}.\; \; \; \left(3 \right)


С другой стороны

\vec{a^{2}}=aa\cos 0=a^{2}.


Тогда

a=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}},\; \; \; \left(4 \right)


т. е. длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его проекций.
Угол между двумя векторами. Из формулы (1) следует:

\cos \phi =\frac{\vec{a\vec{b}}}{ab},\; \; \; \left(5 \right)


или в координатной форме:

\cos \phi =\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}},\; \; \; \left(6 \right)


т. е. косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение их длин.
Направляющие косинусы вектора \vec{a} с осями координат выражаются так:

\cos \alpha =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},\; \cos \beta =\frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},\; \cos \gamma =\frac{z_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}.\; \; \; \left(7 \right)



Проекции вектора

1. Проекции вектора. Проекцией вектора \vec{AB} на ось \vec{l} называется число, равное длине отрезка A_{1}B_{1} взятое со знаком плюс, если направление отрезка A_{1}B_{1} совпадает с направлением оси \vec{l}, и со знаком минус, если эти направления противоположны (рис.1).
vekt018

Рис. 1

Проекция вектора \vec{AB}=\vec{a} на ось \vec{l} обозначается формулой
\Pi p_{\vec{l}}\vec{AB} или \Pi p_{\vec{l}}\vec{a}.
Проекция вектора \vec{AB} на ось \vec{l} выражается формулой

\Pi p_{\vec{l}}\vec{AB}=AB\cos \phi

или \Pi p_{\vec{l}}\vec{a}=a\cos \phi,
где АВ = а — модуль вектора \vec{AB}=\vec{a}, φ — угол наклона вектора к оси \vec{l}.
Проекция суммы векторов на ось \vec{l} равна сумме их проекций на ту же ось:

\Pi p_{\vec{l}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\Pi p_{\vec{l}}\vec{a}+\Pi p_{\vec{l}}\vec{b}+\Pi p_{\vec{l}}\vec{c}.


При умножении вектора на скаляр его проекция умножается на этот скаляр:

\Pi p_{\vec{l}}n\vec{a}=n\Pi p_{\vec{l}}\vec{a}.


Рассмотрим прямоугольную систему координат и произвольный вектор \vec{OM} (рис.2).
Очевидно, будем иметь:

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

1. Сложение векторов. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма или многоугольника.
Правило параллелограмма. Суммой двух векторов \large \vec{a} и \large \vec{b} называют такой третий вектор \large \vec{c}, выходящий из их общего начала, который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются сами векторы (рис.1) и обозначают так: \large \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}.
vekt008

Рис.1

Правило многоугольника. Чтобы построить сумму любого конечного числа векторов, нужно в конце первого слагаемого вектора построить второй, в конце второго построить третий и т. д. Вектор, замыкающий полученную ломаную линию, представляет собой искомую сумму. Начало его совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец — с концом последнего.