Category Archives: Практикум по аналитической геометрии

Векторы и скаляры

Величины, с которыми приходится встречаться в физике, механике и других прикладных дисциплинах, бывают двоякого рода: скалярные и векторные.
Скалярными величинами, или скалярами, называются величины, которые определяются только числовым значением.
Например: время, масса, плотность, длина отрезка, площадь, объем и т. д
Векторными величинами, или векторами, называются величины, которые определяются не только численным значением, но направлением и точкой приложения.
Например: сила, скорость, ускорение и т. д.
Векторные величины геометрически изображаются в виде отрезков, снабженных стрелками. Стрелка указывает направление, а длина отрезка изображает численные значения вектора и называется длиною, или модулем, или абсолютной величиной вектора.

Примеры решения задач по теме "Метод координат в пространстве". Часть 2

Задача №1. Вычислить координаты точки М, если луч ОМ наклонен к оси Ох под углом в 60°, а к оси Оу — под углом в 45° и что длина его равна 12.
Решение. Согласно условию α =60°, β =45°.
Воспользовавшись соотношением между квадратами направляющих косинусов, найдем угол α:

 \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1.


 \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\cos ^{2}\gamma =1,\; \; \; \cos ^{2}\gamma =1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},


 \cos \gamma =\pm \frac{1}{2};


 \cos \gamma _{1}=\frac{1}{2},\; \; \gamma _{1}=60^{\circ};\; \; \; \cos \gamma _{2}=-\frac{1}{2},\; \; \gamma _{1}=120^{\circ}.


Координаты точки М определим по формулам:

Примеры решения задач по теме "Метод координат в пространстве". Часть 1

Задача №1. Построить точки А (-3; 5; 1), В (1; -2; 4), С (2; 6; -1), D (4; 0; 3), Е (0; 7; 0), F (0; 0; 0). Объяснить расположение точек.
Построение. На оси Ох в отрицательном направлении откладываем 3 единицы выбранного масштаба. Из конца третьего отрезка проводим полупрямую вправо параллельно оси Оу и откладываем на ней 5 единиц выбранного масштаба (рис.1).
koord016

Рис.1

Из конца пятого отрезка проведем полупрямую вверх параллельно оси Оz и на ней отложим отрезок, равный 1. Конец этого отрезка и дает искомую точку А.
Аналогично строим остальные точки.

Метод координат в пространстве: основные формулы

1. Расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками  M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) и M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) определяется по формуле:

 d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\; \; \; (1)


В частном случае, расстояние точки M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) от начала координат равно:

 d=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\; \; \; (2)


koord006

Рис.1

2. Деление отрезка в данном отношении. Если точка  M(x,y,z) делит отрезок, определяемый точками  M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) и M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) в отношении \frac{M_{1}M}{MM_{2}}=\lambda , то ее координаты определяются по формулам:

 \large x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda },\; y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda },\;z=\frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda },\;\; \; (3)


В частности, координаты середины отрезка M_{1}M_{2} получаются при λ =1, т. е.

 \large x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2},\;\; \; (4)


3. Определение направлений в пространстве. Пусть ось l образует с положительными направлениями осей координат Ох, Оу и Oz соответственно углы α, β и γ (рис.2). Числа \cos \alpha ,\: \cos \beta и \cos\gamma называются направляющими косинусами оси l.
koord008

Рис.2

Между направляющими косинусами существует следующая основная зависимость:

 \large \cos ^{2}\alpha +cos ^{2}\beta +cos ^{2}\gamma =1,\; \; \; \; (5)


koord010

Рис.3

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого направления равна единице.
Пусть l_{1} и l_{2} суть две оси, проходящие через начало координат (рис.3). \cos \alpha _{1},\cos \beta _{1},\cos \gamma _{1} — направляющие косинусы l_{1}, \cos \alpha _{2},\cos \beta _{2},\cos \gamma _{2} — направляющие косинусы l_{2}. Тогда косинус угла φ между этими осями вычисляется по формуле

 \large \cos \phi =\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}\; \; \; \; (6)


Пусть отрезок АВ (рис.4) задан своим началом A\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right) и концом B\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right).
koord012

Рис.4

Тогда проекции этого отрезка на оси координат выражаются через координаты точек А и В следующими формулами:

 A_{x}B_{x}=x_{2}-x_{1},


 A_{y}B_{y}=y_{2}-y_{1},


 A_{z}B_{z}=z_{2}-z_{1}.


Длина отрезка АВ вычисляется по формуле:

 \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1} \right)^{2}}.


Тогда направляющие косинусы отрезка АВ равны:

 \large \cos \alpha =\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},


 \large \cos \beta =\frac{y_{2}-y_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},\; \! \; \; (7)


 \large \cos \gamma =\frac{z_{2}-z_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}}.


В частном случае, если начало отрезка находится в начале координат, а конец — в точке  M(x,y,z), то направляющие косинусы отрезка ОМ равны:

 \large \cos \alpha =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},


 \large \cos \beta =\frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}, \; \! \; \; (8)


 \large \cos \gamma =\frac{z_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}.


4. Нахождение центра тяжести пирамиды.
Пусть задана пирамида своими вершинами A(x_{1},y_{1},z_{1}), B(x_{2},y_{2},z_{2}), C(x_{3},y_{3},z_{3}), D(x_{4},y_{4},z_{4}) (рис.5).
koord014

Рис.5

Центр тяжести пирамиды T\left(x,y,z \right) лежит на прямой, соединяющей любую из ее вершин с центром тяжести противолежащей грани. Находим координаты точки Е:

 \large x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},


 \large y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},


 \large z'=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}.


Искомая точка T\left(x,y,z \right) делит отрезок DE в отношении DT:TE = 3:1, т. е. λ =3.
Воспользуемся формулами (3) и получим:

 \large x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4},


 \large y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4},


 \large z'=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}.



загрузка...

Прямоугольные координаты в пространстве

Прямоугольные координаты в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трех взаимно перпендикулярных пересекающихся в одной точке осей, называемых осями координат. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается буквой О. Координатные оси обозначаются через Ох, Оу и Оz и соответственно называются осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.
На каждой оси выбирается положительное направление, указанное стрелкой, и единица меры (е).

Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии

Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии

1. Площадь треугольника с вершинами в точках (x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}),\:(x_{3},y_{3}).

 S=\pm \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} & 1 \end{vmatrix}.

2. Условие, при котором три точки (x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}),\:(x_{3},y_{3}). лежат на одной прямой

 \begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} & 1 \end{vmatrix}=0.

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}).

\begin{vmatrix} x_{} &y_{} & 1\\ x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1 \end{vmatrix}=0

4. Условие, при котором три прямые A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\ A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0\; пересекаются в одной точке:

 \begin{vmatrix} A_{1} &B_{1} & C_{1}\\ A_{2} &B_{2} & C_{2}\\ A_{3} &B_{3} & C_{3} \end{vmatrix}=0.

Пример 1. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках А (1; 2), В (—2; 1), С (—3; —4), D (5; —7).
opred012

Рис.1

Решение. Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников ABC и ACD.
S_{ABC}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 &2 & 1\\ -2 &1 & 1\\ -3 &-4 & 1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(1+8-6+3+4+4)=7;
S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 &2 & 1\\ -3 &-4 & 1\\ 5 &-5 & 1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(-4+15+10+20+5+6)=26;
S_{ABCD}=7+26=33.
Ответ: 23 кв.ед.
Пример 2. На прямой, проходящей через точку M(-3; 8) и N(5; —1), найти точку, абсцисса которой равнялась бы 1.
Решение. Воспользуемся условием того, что три точки лежат на одной прямой.
opred014

Рис.2
 \begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} & 1 \end{vmatrix}=0.

Координаты искомой точки Р(1; у):

\begin{vmatrix} -3 &8 & 1\\ 5 &-1 & 1\\ 1 &y & 1 \end{vmatrix}=0,
3+5y+8+1+3y-40=0,\; 8y-28=0,\; y=3,5.\; \; P(1;\: 3,5).

Ответ: P(1; 3,5).

Решение систем линейных уравнений методом Крамера (примеры)

Рассмотрим систему двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными
\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}. \end{matrix}\right.\; \; (1)
Решение этой системы определяется формулами Крамера:
\displaystyle x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}, y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta},\; \; (2)
где
\Delta=\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix},\; \Delta_{x}=\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix},\; \Delta_{y}=\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}.\;
Определитель Δ, стоящий в знаменателе, составлен из коэффициентов при неизвестных системы (1), взятых в том же порядке, в каком они стоят в уравнениях, и называется определителем системы.
Определители, стоящие в числителях формул (2), получаются из определителя системы путем замены соответственно первого и второго столбцов свободными членами этой системы.