Графическое решение неравенств второй степени

Графическое решение неравенств второй степени

Графическое решение неравенств второй степени
Как известно, графиком квадратичной функций y=ax^{2}+bx+c является парабола с ветвями, направленными вверх, если

Рис. 1 а)         Рис. 1 б)

graf_resh_004

Рис. 1 в)         Рис. 2 а)

graf_resh_006

Рис. 2 б)         Рис. 2 в)

Используя графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства. График параболы можно строить чисто схематически, не находя координаты вершин (если D\neq 0) и точку пересечения с осью Oy.
Пример 1. Решить неравенство

Рис.3



Решение. Рассмотрим функцию y=x^{2}. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось Ox в точке с абсциссой x=0, так как x^{2}=0 <=> x=0. Изобразив схематически параболу y=x^{2} (рис. 3), найдем, что

Рис.4

Решение. Рассмотрим функцию y=x^{2}-x-6. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т. к.

Рис.5

Решение. Рассмотрим функцию y=-2x^{2}+3x+2. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (парабола направлена выпуклостью вверх), т. к. a=-2<0.

-2x^{2}+3x+2=0\Leftrightarrow x_{1}=-\frac{1}{2},\; x_{2}=2

. Изобразив схематически параболу y=-2x^{2}+3x+2, находим, что y<0 в каждом из бесконечных промежутков: \left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right),\; \left(2;+\propto \right). Искомое множество заштриховано на рис.5.

Ответ: x\in \left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right)\bigcup \left(2;+\propto \right).
Пример 4. Решить неравенство x^{2}+2x+3\geq 0.
graf_resh_014

Рис.6

Решение. Поскольку для квадратного трехчлена x^{2}+2x+3 дискриминант D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-8<0, то парабола y=x^{2}+2x+3 не пересекает ось Ox. Изобразив параболу y=x^{2}+2x+3 схематически (рис.6), находим, что

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − 1 =