Корень n-й степени из действительного числа. Основные свойства корней (правила действий с радикалами)

Корень n-й степени из действительного числа

Действительное число х называется корнем n-й степени из действительного числа а, если
image1002


Корень n-й степени обозначается символом
image1004
Согласно определению
image1006
Число а называется подкоренным числом или подкоренным выражением, n — показателем корня. Если n = 2, то вместо
image1008
пишут
image1010
и называют это выражение квадратным корнем.
image1012
называют кубическим корнем. Вместо термина «корень» употребляют термин «радикал».
Пример.
image1014так как
image1018
Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степени, называется извлечением корня n-й степени.
Корень четной степени извлекается только из неотрицательного числа, то есть если a < 0, то
image1020
не существует. Например, выражения
image1022
не имеют смысла в области действительных чисел. Корень нечетной степени извлекается
и из отрицательного числа. Например,
image1024
image1026
Для корней нечетной степени
image1028
Для корней четной степени это свойство не выполняется, т. е.
image1030
(оно выполняетсятолько для a = 0). Таким образом,
image1032
существует при a≥0.
image1036
существует для любого аєR.
Чтобы устранить двузначность корня n-й степени из действительного числа a, вводится понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем называется неотрицательный корень n-й степени из неотрицательного числа. Для корней четной степени условились брать только арифметический корень.
Таким образом, можем записать:
image1038
image1040
Ошибочно записывать
image1042
Замечание. Иногда арифметическим корнем называют неотрицательный корень четной степени из неотрицательного числа.

Основные свойства корней (правила действий с радикалами)

image11002
Замечание 1. Приведенные выше свойства 1)—6) справедливы для если рассматривать корни четной степени. Свойства 7)—8) справедливы для любого аєR.
Если же рассматривать корни нечетной степени, то эти свойства 1)—8) справедливы для аєR, bєR .
Замечание 2. Формулы 1)—5) часто применяются в обратном порядке, т. е. справа налево. Например:
image1046
image1048

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->