Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную. Неравенства с переменными называют иногда функциональными неравенствами.
Пусть дано неравенство с одной переменной f(x) > g(x) (вместо знака > могут быть знаки <,\: \leq ,\geq). Областью определения неравенства f(x) > g(x) называется пересечение областей определения функций f(x) и g(x).

загрузка...

Решением неравенства называется всякое значение переменной, при котором исходное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными), если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений.
При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств:
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.
2. Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить (или вычесть) любую функцию \varphi (x), то получится неравенство, равносильное исходному при условии, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают.
3. Если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить (или разделить) на любую функцию \varphi (x), сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при \varphi (x)>0 получается неравенство, равносильное исходному, а при \varphi (x)<0 равносильным исходному будет неравенство противоположного смысла (предполагается, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают). Таким образом, можем записать:

f(x)>g(x)\Leftrightarrow f(x)\cdot \varphi (x)>g(x)\cdot \varphi (x), если \varphi (x)>0;
f(x)>g(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)}{\varphi (x)}>\frac{g(x)}{\varphi (x)}, если \varphi (x)>0;
f(x)>g(x)\Leftrightarrow f(x)\cdot \varphi (x)<g(x)\cdot \varphi (x), если \varphi (x)<0;

f(x)>g(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)}{\varphi (x)}<\frac{g(x)}{\varphi (x)}, если \varphi (x)<0.

Замечание. На практике при применении 2 и 3 теорем чаще всего вместо функции \varphi (x) берется ее частный случай — отличная от нуля константа.

Пример. x^{2}-4x>-3 и x^{2}-4x+3>0 равносильны по теореме 1. Неравенство x^{2}+7x<x^{2} равносильно неравенству 7x<0 по теореме 2, которое, в свою очередь, равносильно неравенству x<0 по теореме 3. Неравенство -7x\leq 21 равносильно неравенству x\geq -3 по теореме 3, т. к. обе части неравенства -7x\leq 21 можно разделить на отрицательное число (-7), изменив при этом знак \leq на знак \geq.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: