Примеры решения рациональных неравенств методом интервалов

Примеры решения рациональных неравенств методом интервалов

Примеры решения рациональных неравенств методом интервалов
Пример 1. Решить неравенство

Рис.1

Иллюстрацию с помощью «кривой знаков» понимаем так: на тех промежутках, где «кривая знаков» проходит выше координатной прямой (где ставится знак « + »), выполняется неравенство

Рис.2

Ответ: x\in \left(-1;2 \right)\bigcup \left[4;+\propto \right).
Пример 3. Решить неравенство \frac{3x}{(x+2)(x-4)}<0.

Решение. Корнями уравнений 3x=0,\; x+2=0,\; x-4=0 являются числа x=0, x=-2, x=4. Наносим эти числа на прямую (рис.3) и определяем знак левой части неравенства, т. е. знак функции f(x)=\frac{3x}{(x+2)(x-4)} на одном из интервалов.
met_int_006

Рис.3

В частности, взяв x=5, получаем

Рис.4

Ответ: x\in (-2;1]\bigcup [2;4).
Пример 5. Решить неравенство


met_int_010

Рис.5

Применяя «кривую знаков» (рис.5), получаем, что исходное неравенство выполняется при x\in \left(0;\frac{1}{6} \right). Это множество заштриховано на рис.5.
Ответ: x\in \left(0;\frac{1}{6} \right).
Пример 6. Решить неравенство \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}\geq 1.
Решение. Преобразуем исходное неравенство:

\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}\geq 1 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+3x+2}-1 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}-3x+2-x^{2}-3x-2}{x^{2}+3x+2}\geq 0 \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \frac{-6x}{(x+1)(x+2)}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{6x}{(x+1)(x+2)}\leq 0.


В процессе преобразований мы учли, что x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2), а также тот факт, что при умножении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный. Применяя «кривую знаков» (рис. 6), получим, что неравенство \frac{6x}{(x+1)(x+2)}\leq 0, равносильное исходному, выполняется ,при x\in (-\propto ;-2)\bigcup (-1;0]. Это множество заштриховано на рис.6.
met_int_012

Рис.6

Ответ: x\in (-\propto ;-2)\bigcup (-1;0].

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три × один =