Решение иррациональных уравнений. Метод введения новых переменных

Пример 1. Решить уравнение
614
Решение. Сделаем замену переменной, положив


616
Отсюда получаем

загрузка...

(t² +1)/t = 2 <=> t² - 2t +1 = 0 <=> (t -1)² = 0 <=> t = 1.
Так как производились только эквивалентные преобразования, то исходное уравнение равносильно следующему:
620<=>5-х = х + 3<=>5-3= х + х <=> 2 = 2х <=> х = 1.
Проверка. Поскольку уравнение
622
равносильно исходному уравнению, то найденный корень можно не проверять или проверять подстановкой в уравнение
622
При х = 1 имеем
626
является корнем уравнения
622
а значит и исходного уравнения.
Ответ: {1}.
Пример 2. Решить уравнение
630
Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду
632
Положив
634
получаем t² +t -12 = 0 <=> t₁ = 3, t₂ = -4. Взяв t₁ = 3 =>
638 <=> x²-3x+5 = 9 <=> х²-Зх-4 = 0 <=> x₁ = 4, х₂ = -1. Взяв t₂ = -4, получим
636
т. к. корень четной степени есть число неотрицательное.
Проверка. Поскольку исходное уравнение эквивалентно уравнению
638
то корни можно проверять подстановкой в уравнение
638
Эта подстановка показывает, что x₁ = 4, х₂ = -1 являются корнями этого, а значит и исходного уравнения. Ответ: {4, -1}.
Пример 3. Решить уравнение
642
Решение. D≥0. Преобразуем выражения, стоящие в левой части исходного уравнения.
644
Положив 646
получаем 648
Отсюда исходное уравнение при t ≥ 0 эквивалентно уравнению
t²-26t = 27 <=> t²-26t-27 = 0 <=> t₁ = 27, t₂=-1.
Так как t ≥ 0, то t₂ = -1 есть посторонний корень. Взяв
650
652
Проверка. Поскольку исходное уравнение эквивалентно уравнению то проверку можно производить, подставляя х = 59049 в это уравнение. При
656658
=> х = 59049 является корнем уравнения а значит, и исходного уравнения.
Ответ: {59049}.
Пример 4. Решить уравнение
662
Решение. ОДЗ исходного уравнения х>0. Заметим, что
664
Сделав замену665
получаем t⁵+2t⁴-t⁶=0 <=>
668
Положив 670
Положив 672
Поскольку t > 0 => t₃ = -1 является посторонним корнем.
Проверка. При
674
является корнем. При
676
678
является корнем.
Ответ: {0; 256}
Пример 5. Решить уравнение
696
Решение.
Положив 698
получаем
700
Возведем (U+V) в пятую степень, пользуясь треугольником Паскаля:
702
Проверка. При
704706
является корнем.
При 708710
является корнем.
Ответ: {-1/2; 1/2}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: