Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 2

Решение типовых задач на арифметическую прогрессию. Часть 2

Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если сумма её n первых членов S_{n}=2n^{2}-3n.
Решение.
S_{1}=a_{1}=2\cdot 1^{2}-3\cdot 1=2-3=-1;
S_{2}=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2=8-6=2;
S_{2}=a_{1}+a_{2}=2\Leftrightarrow a_{2}=2-a_{1}=2-(-1)=3.
Отсюда d=a_{2}-a_{1}=3-(-1)=4.
Ответ: a_{1}=-1;\: d=4.
Пример 2. Найти десятый член арифметической прогрессии, если сумма ее n первых членов S_{n}=3n^{2}-2n.
Решение.
S_{10}=a_{1}+a_{2}+...+a_{9}+a_{10};\: S_{9}=a_{1}+a_{2}+...+a_{8}+a_{9}.
Ясно, что
a_{10}=S_{10}-S_{9}=3\cdot 10^{2}-2\cdot 10-(3\cdot 9^{2}-2\cdot 9)=3(10^{2}-9^{2})-2\cdot 10+2\cdot 9=3(100-81)-20+18=57-2=55.
Ответ: {55}.
Пример 3. В арифметической прогрессии (a_{n}) S_{19}=133. Найти a_{10}.
Решение.
S_{19}=\frac{2a_{1}+(19-1)d}{2}\cdot 19=\frac{2a_{1}+18d}{2}\cdot 19=(a_{1}+9d)19=a_{10}\cdot 19\Leftrightarrow a_{10}=\frac{S_{19}}{19}=\frac{133}{19}=7.
Ответ: {7}.
Пример 4. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.
Решение.
Имеем a_{1}=13;\: a_{2}=17;\: a_{3}=21;...;a_{n}=97.
Найдем число n членов этой прогрессии из формулы a_{n}=a_{1}+(n-1)d. Подставив a_{n}=97,\: a_{1}=13,\: d=4, получаем
97=13+(n-1)4\Leftrightarrow 4(n-1)=97-13=84\Leftrightarrow n-1=\frac{84}{4}=21\Leftrightarrow n=1+21=22.
Отсюда S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n;\; S_{22}=\frac{13+97}{2}\cdot 22=110\cdot 11=1210.
Ответ: {1210}.
Пример 5. Решить уравнение (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155.
Решение.
Имеем a_{1}=x+1,\: d=(x+4)-(x+1)=3,\; a_{n}=x+28.
С другой стороны,
a_{n}=a_{1}+(n-1)d \Leftrightarrow x+28=(x+1)+(n-1)3 \Leftrightarrow x+28-x-1=3(n-1) \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 27=3(n-1)\Leftrightarrow n-1=9\Leftrightarrow n=10.
Тогда по условию S_{10}=155. Отсюда
155=\frac{(x+1)+(x+28)}{2}\cdot 10=(2x+29)\cdot 5\Leftrightarrow 2x+29=\frac{155}{5}=31\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=1.
Ответ: {1}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × три =