Целые рациональные уравнения высших степеней. Теорема Безу

Уравнения вида
322
(n∈N, a₀≠0) есть алгебраическое уравнение степени n.
Если n=1, то a₀x+a₁ = 0 — линейное уравнение.
Если n=2, то a₀х²+a₁x + a₂ = 0 — квадратное уравнение.
Если n>2, то уравнение называется уравнением степени выше второй или уравнением высшей степени.


Алгебраическое уравнение степени n имеет не более n действительных корней.
Уравнение
322
называется неприведенным целым рациональным уравнением (а₀≠0, а₀≠1).
Уравнение
324
называется приведенным целым рациональным уравнением.
Обозначим
326
Для уравнения Pn(x)=0 справедлива теорема Безу: многочлен Рn(х) делится без остатка на двучлен (х-α) в том и только в том случае, когда а — корень многочлена
Замечание. Теорема Безу нередко формулируется следующим образом: остаток от деления многочлена Рn(х) на двучлен (х-α) равен значению этого многочлена Рn(х) при х = α , то есть Pn(α)=r где r — остаток от деления многочлена Рn(х) на двучлен (х-α).

Пример 1. Многочлен х³+х²-х-1 делится без остатка (нацело) на двучлен (х-1), т. к. х = 1 является корнем многочлена х³+х²-х-1 = 0.
Пример 2. Остаток от деления многочлена х³+х²-х-1 на двучлен (х-2) равен 9, т. к. Р₃(2) = 2³+2²-2-1 = 8+4-3=9. В этом можно убедиться и непосредственно, разделив х³+х²-х-1 «углом» на (х-2):
334
Таким образом,
336
Если Рn(х) — многочлен с целыми коэффициентами, то всякий целый корень многочлена Рn(х) является делителем свободного члена аn. Например, х²-7х+12 — многочлен второй степени; его корни x₁=3, х₂=4 есть делители свободного члена (числа 12).
Если несократимая дробь является корнем неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами
340
то q является делителем старшего коэффициента а₀, а р является делителем свободного члена аn.
Решение уравнений высших степеней, имеющих хотя бы один целый корень, выполняют в следующем порядке:
1) находят множество делителей свободного члена аn;
2) по теореме Безу проверяют, какие из этих делителей являются корнями уравнения Рn(х)=0;
3) делением «углом» находят частное от деления Рn(х) (х-х₁) , где х₁ — корень уравнения Рn(х)=0;
4) записывают частное QQn-1 как многочлен степени (n—1):

348
где Qn-1 — многочлен степени (n—1);
5) определяют, если это возможно, корни многочлена Qn-1 которые являются также корнями исходного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение х³-2х+1 = 0 .
Решение.
Поскольку целые корни исходного уравнения являются делителями числа 1, то ищем корни среди чисел ±1. При х=1 х³-2x+1 = 1³-2-1+1 = 0 => х=1 является корнем заданного уравнения. Разделив «углом» многочлен х³-2х+1 на (х—1), получаем
354
Отсюда исходное уравнение можно записать в виде х³-2х+1=(х-1)(x²+х-1)=0 <=>
356
Ответ: 358
Пример 4. Решить уравнение х³-5х²-2х+24=0.
Решение.
Подбором находим целый корень исходного уравнения. Для этого выписываем делители свободного члена: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24. Подставляя в исходное уравнение вместо х=-1, получаем (-1)³-5·(-1)²-2(-1)+24 =-1-5+2+24=20≠0 => х = -1 не является корнем исходного уравнения.
При х=1 1³-5·1²-2·1+24=1-5-2+24=18 ≠0 =>; х = 1 не является корнем.
При х=-2 (-2)³-5(-2)²-2(-2)+24=-8-20+4+24=0 => x₁ =-2
является корнем исходного уравнения. По теореме Безу исходный многочлен делится без остатка на (х+2). Выполним это деление «углом»:
360
Таким образом, х³-5х²-2х+24=(х+2)(х²-7х+12) => исходное уравнение принимает вид (х+2)(х²-7х+12)=0. Это уравнение равносильно совокупности уравнений (решение первого из которых х+2=0 <=> х=-2 уже найдено): х+2=0; х²-7х+12=0. Второе уравнение совокупности имеет корни х=3 и х=4 => исходное уравнение имеет три корня: х₁=-2, х₂=3, х₃=4.
Ответ: {-2; 3; 4}.
Пример 5. Решить уравнение 2х³-Зх²-х+1 = 0.
Решение.
Так как ±1 не являются корнями исходного уравнения, то нужно попытаться найти рациональные корни (если они есть). Рациональные корни исходного уравнения ищем в виде p/q, где р — делитель числа 1, q — делитель числа 2, р и q — взаимно простые числа. Ясно, что рациональные корни следует искать
среди чисел ±1, ±1/2. Проверяя эти числа путем подстановки в исходное уравнение, находим корень х =1/2. Отсюда нужно разделить исходный многочлен левой части уравнения на (х-1/2) или, что то же самое, но без дробей, на 2(x-1/2)=2х-1 (т.к. х=1/2 (дробь) является корнем, то лучше делить не на (х-1/2), а на
2(x-1/2)=2х-1, тогда мы при делении избегаем дробных коэффициентов). Выполняем деление «углом»:
362
Отсюда 2х³-Зх²-х+1=(2х-1)(х²-х-1) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
368
Второе уравнение совокупности х²-х-1 = 0 имеет корни 370 исходное уравнение имеет три корня:
372374
Ответ: 376

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×