Окружность, касательные и секущие. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 13

Окружность — это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки (центра).
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется радиусом.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной, к — касательная (см. рис. 1).


okr_002

Рис. 1

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Свойства касательных и секущих.
1°. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2°. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и эту общую точку.
Пусть дана окружность с центром O, MP и MK — касательные, K и P — точки касания, следовательно MP = MK, \displaystyle \angle 1=\angle 2,\; OP^{2}+PM^{2}=OM^{2} (см. рис. 2).
okr_004

Рис. 2

3°. Если касательная пересекается с секущей, то квадрат отрезка касательной равен произведению расстояний от общей точки прямых до точек пересечения секущей с окружностью.
Пусть дана окружность с центром O, MK — секущая, MP — касательная, P — точка касания, следовательно, \displaystyle MP^{2}=MK\cdot MK_{1} (см. рис. 3).
okr_010

Рис. 3

Хорда — это отрезок, концы которого лежат на окружности.
okr_008

Рис. 4

AB — хорда, \displaystyle \breve{AB} — дуга (см. рис. 4).
Дуга — это часть окружности, соединяющая две точки окружности (см. рис. 4).
Задача 1. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные (см. рис. 5). Периметры отсечённых треугольников равны 5, 6, 8. Найдите периметр треугольника ABC.
okr_006

Рис. 5

Решение.
Рассмотрим рис. 6. Периметр \displaystyle \bigtriangleup CDP равен \displaystyle DC+CP+PM+MD, также \displaystyle P_{BGE}=BG+GF+FE+EB,\; P_{ANR}=NA+AR+RL+LN.
okr_012

Рис. 6

Но отрезки TD = DM, MP = PK, KE = EF, FG = GQ, QR = RL, LN = NT как отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки. Тогда
\displaystyle P_{ABC}=AB+BC+CA=P_{CDP}+P_{BGE}+P_{ANR}=5+6+8=19.
Ответ: 19.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×