Описанные и вписанные окружности (теория). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 16

Окружность называют вписанной в угол или многоугольник (в частности, в треугольник), если она касается всех сторон соответствующего угла или многоугольника (см. рис. 1).
vpys_okr_002

Рис. 1.

Окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности (см. рис. 2).
vpys_okr_004

Рис. 2.

1°. Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла.
Окружность с центром O вписана в угол BAC, следовательно, \displaystyle \angle BAO=\angle CAO (см. рис. 3).
2°. Центр вписанной в многоугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
vpys_okr_006

Рис. 3.

В \displaystyle \bigtriangleup ABC точка O — центр вписанной окружности, следовательно, BO, CO, AO — биссектрисы углов \displaystyle \bigtriangleup ABC (см. рис. 4).
vpys_okr_008

Рис. 4.

3°. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, значит \displaystyle AD+BC=AB+DC. (см. рис. 5).

vpys_okr_010

Рис. 5.

4°. Центр описанной окружности многоугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
\displaystyle \bigtriangleup ABC вписан в окружность, O — центр (см. рис. 6).
vpys_okr_012

Рис. 6.

5°. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
\displaystyle \bigtriangleup ABC вписан в окружность с центром O, \displaystyle \angle B=90^{\circ}, значит \displaystyle AO=OC, точка O лежит на AC (см. рис. 7).
vpys_okr_014

Рис. 7.

6°. Радиус r окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно вычислить по формуле \displaystyle r=\frac{a+b-c}{2} где a и b — катеты, c — гипотенуза.
7°. Центры вписанной и описанной окружности правильного треугольника совпадают, центр лежит на высоте треугольника и делит её в отношении 2:1, считая от вершины.
8°. Если четырёхугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны 180°.
ABCD вписан в окружность (см. рис. 8). \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}.
vpys_okr_016

Рис. 8.

9°. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->