Свойства треугольника. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 11

Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром.
\displaystyle P_{\bigtriangleup ABC}=AB+BC+AC.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

загрузка...

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
На рисунке 1 MN — средняя линия треугольника ABC.
treug_002

Рис. 1

1. Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна половине этой стороны. MN||AC, \displaystyle MN=\frac{1}{2}AC.
2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника (см. рис. 2).
treug_004

Рис. 2

Сумма углов треугольника равна 180°. На рисунке 3 \displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}.
treug_006

Рис. 3

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
treug_008

Рис. 4

Например, \displaystyle \angle 4 и \displaystyle \angle 3 — смежные, следовательно, \displaystyle \angle 4 — внешний угол треугольника ABC (см. рис. 4).

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Угол 4 — внешний угол треугольника ABC. \displaystyle \angle 4=\angle 1+\angle 2.
Задача 1. В треугольнике MPK угол P равен 35° (см. рис. 5), угол K равен 95°, MB — биссектриса, E — такая точка на MP, что ME = MK. Найдите угол PBE. Ответ дайте в градусах.
treug_010

Рис. 5

Решение.
\displaystyle \bigtriangleup MKB=\bigtriangleup MBE по первому признаку (KM = ME по условию, MB — общая сторона. \displaystyle \angle KMB=\angle BME, так как MB — биссектриса), \displaystyle \angle BEM=\angle K=95^{\circ}.
Внешний угол \displaystyle \bigtriangleup BEP равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть \displaystyle \angle BEM=\angle P+\angle PBE.
\displaystyle \angle PBE=95^{\circ}-35^{\circ}=60^{\circ}.
Ответ: 60.
Задача 2. На рисунке 6 угол 1 равен 52°, угол 2 равен 26°, угол 3 равен 48°. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°, а четырёхугольника — 360°.
treug_012

Рис. 6

В \displaystyle \bigtriangleup ACE\; \angle 5=180^{\circ}-\angle 1-\angle 2=180^{\circ}-52^{\circ}-26^{\circ}=102^{\circ} (см. рис. 7).
treug_014

Рис. 7

В \displaystyle \bigtriangleup ABD\; \angle 6=180^{\circ}-\angle 1-\angle 3=180^{\circ}-52^{\circ}-48^{\circ}=80^{\circ}. В четырёхугольнике ABFE \displaystyle \angle 1+\angle 6+\angle 4+\angle 5=360^{\circ},\; \angle 4=360^{\circ}-52^{\circ}-80^{\circ}-102^{\circ}=126^{\circ}.
Ответ: 126.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: