Свойства треугольника. Решение задач. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 12

Задача 3. В треугольнике VHR стороны VR = HR = 12, высота VD равна 6,(см. рис. 8). Найдите угол R. Ответ дайте в градусах.
treug_016

загрузка...

Рис. 8

Решение.
В прямоугольном \displaystyle \bigtriangleup VDR \displaystyle \angle D=90^{\circ}, гипотенуза \displaystyle VR=12, катет \displaystyle VD=6. Если катет равен половине гипотенузы,
то напротив этого катета лежит угол, равный 30°. Поэтому \displaystyle \angle R=30^{\circ}.
Ответ: 30.
Задача 4. В треугольнике ABC CH — высота, AK — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AK, угол BAK равен 31°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).
treug_018

Рис. 9

Решение.
AK — биссектриса, значит, \displaystyle \angle CAK=\angle BAK=31^{\circ},\; \angle CAH=2\cdot 31^{\circ}=62^{\circ}.
В \displaystyle \bigtriangleup ACH\; \angle ACH=90^{\circ},\; \angle HCA=180^{\circ}-90^{\circ}-62^{\circ}=28^{\circ}. Рассмотрим \displaystyle \bigtriangleup ACO.
\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle HCA-\angle CAO=180^{\circ}-28^{\circ}-31^{\circ}=121^{\circ}.
Ответ: 121.
Задача 5. Острые углы прямоугольного треугольника равны 39° и 51°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 10).
Решение.
В \displaystyle \bigtriangleup ABC\; \angle C=90^{\circ},\; \angle A=39^{\circ},\; \angle B=51^{\circ}. CD — биссектриса, \displaystyle \angle ACD=\angle DCB=45^{\circ}.
treug_020

Рис. 10

CH — высота, \displaystyle \angle AHC=90^{\circ}. Нужно найти \displaystyle \angle DCH, он равен разности \displaystyle \angle ACH-\angle ACD.
Найдём \displaystyle \angle ACH из \displaystyle \bigtriangleup ACH. \displaystyle \angle ACH=180^{\circ}-90^{\circ}-39^{\circ}=51^{\circ}.\; \angle DCH=51^{\circ}-45^{\circ}=6^{\circ}.
Ответ: 6.
Задача 6. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3 (см. рис. 11). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
treug_022

Рис. 11

Решение.
Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть \displaystyle \angle A+\angle C=85^{\circ}. Обозначим \displaystyle \angle A=2x,\; \angle C=3x. \displaystyle 2x+3x=85,\, \; 5x=85,\, \; x=17.
\displaystyle \angle C=3x=3\cdot 17=51^{\circ} — наибольший из углов A и C.

Ответ: 51.
Задача 7. Основания трапеции AB и DC равны 14 и 10 соответственно (см. рис. 12). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD.
treug_024

Рис. 12

Решение.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, и её концы являются серединами боковых сторон. DC||AB||EF, ED=EA, BF=CF. Параллельные прямые DC, EF и AB проходят через концы равных отрезков на одной прямой (AD), значит, и на прямой DB они отсекают равные отрезки (по теореме Фалеса). \displaystyle BK=DK\Rightarrow EK и KF — средние линии \displaystyle \bigtriangleup ADB и \displaystyle \bigtriangleup DCB. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, \displaystyle EK=AB:2=14:2=7;\; KF=DC:2=10:2=5. Больший из отрезков равен 7.
Ответ: 7.
Задача 8. В треугольнике ABC проведена биссектриса AE. AB = AE = CE. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах (см. рис. 13).
Решение.
\displaystyle AB=AE\Rightarrow \bigtriangleup ABE — равнобедренный, и углы при основании равны (см. рис. 14). \displaystyle \angle 1=\angle 2. Аналогично в равнобедренном
treug_026

Рис. 13

\displaystyle \bigtriangleup ACE\; \angle 3=\angle 4.\; \angle 5=\angle 3, так как AE — биссектриса. \displaystyle \angle CAB+\angle B+\angle C=180^{\circ},\; \angle 1+\angle 2+\angle 5=180^{\circ} как суммы углов треугольников. Обозначим \displaystyle \angle B=x,\; \angle 4=\angle C=y.
treug_028

Рис. 14

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2y+x+y=180,\\ y+x+x=180; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3y+x=180,\\ y+2x=180; \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=72,\\ y=36. \end{matrix}\right.
\displaystyle \angle C=36^{\circ},\; \angle B=72^{\circ},\; \angle A=2y=72^{\circ}.
Меньший угол равен 36°.
Ответ: 36.
Задача 9. В треугольнике ABC угол A равен 48°, \displaystyle \angle ACD=102^{\circ}. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD=BC. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 15).
treug_030

Рис. 15

Решение.
Сумма углов треугольника равна 180°, \displaystyle \angle A+\angle D+\angle ACD=180^{\circ},\; \angle D=180^{\circ}-48^{\circ}-102^{\circ}=30^{\circ}. \displaystyle \bigtriangleup DBC — равнобедренный (BC=BD), следовательно углы при основании равны, \displaystyle \angle BCD=\angle D=30^{\circ}.
Ответ: 30.
Задача 10. В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 156°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах (см. рис. 16).
treug_032

Рис. 16

Решение.
Внешний угол треугольника равен сумме углов, не смежных с ним. \displaystyle \angle A+\angle C=156^{\circ}.\; \bigtriangleup ABC — равнобедренный, углы при основании равны. \displaystyle \angle A=\angle C=156^{\circ}:2=78^{\circ}.
Ответ: 78.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: