Углы, связанные с окружностью (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 15

Задача 1. Найдите угол ACO, если прямая CA касается окружности в точке A, точка O — центр окружности, дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128° (см. рис. 1). Ответ дайте в градусах.
ugly_012

загрузка...

Рис. 1.

Решение.
Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, прямой: \displaystyle \angle OAC=90^{\circ}. Центральный угол DOA равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть \displaystyle \angle DOA=\breve{DA}=128^{\circ}. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, \displaystyle \angle DOA=\angle OAC+\angle ACO,\; \angle ACO=128^{\circ}-90^{\circ}=38^{\circ}.
Ответ: 38.
Задача 2. Хорда AB стягивает дугу окружности в 104°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку B. Ответ дайте в градусах (см. рис. 2).
ugly_014

Рис. 2.

Решение.
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой из конца хорды, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда. \displaystyle \angle CBA=0,5\cdot \breve{AB}=0,5\cdot 104^{\circ}=52^{\circ}.
Ответ: 52.
Задача 3. Через концы A и B дуги окружности в 56° проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах (см. рис. 3).
ugly_016

Рис. 3.

Решение.
\displaystyle \angle OBC=\angle OAC=90^{\circ}, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. \displaystyle \angle BOA=\breve{BA}=56^{\circ} (центральный угол опирается на дугу 56°). В четырёхугольнике OBCA сумма углов равна 360°. \displaystyle \angle ACB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-56^{\circ}=124^{\circ}.
Ответ: 124.
Задача 4. Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах (см. рис. 4).
ugly_018

Рис. 4.

Решение.
При формулировании подобных задач имеется в виду, что отмеченная на рисунке дуга MK меньше всей окружности в целое число раз.
ugly_020

Рис. 5.

Дуга BK — одна четвёртая всей окружности (см. рис. 5), MK — одна восьмая, то есть 360° : 8 = 45°. Вписанный \displaystyle \angle MPK опирается на дугу MK, значит

\displaystyle \angle MPK=\frac{1}{2}\breve{MOK}=45^{\circ}:2=22,5^{\circ}.
Ответ: 22,5.
Задача 5. Центральный угол на 54° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности (см. рис. 6). Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
ugly_022

Рис. 6.

Решение.
Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Если он на 54° больше вписанного угла, то вписанный угол равен 54°.
Ответ: 54.
Задача 6. В окружности с центром O AB и CD — диаметры (см. рис. 7). Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол рис j^g ABC. Ответ дайте в градусах.
ugly_024

Рис. 7.

Решение.
Диаметр DC опирается на полуокружность \displaystyle \breve{DC}=180^{\circ}. \displaystyle \breve{AC}=\breve{DC}-\breve{DA}=180^{\circ}-\angle DOA=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}. Вписанный угол ABC равен половине угловой величины дуги, на которую опирается. \displaystyle \angle ABC=0,5\cdot \breve{AC}=0,5\cdot 72^{\circ}=36^{\circ}.
Ответ: 36.
Задача 7. Найдите угол ACB, если вписанные углы AMB и MAK опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 106° и 42° (см. рис. 8). Ответ дайте в градусах.
ugly_026

Рис. 8.

Решение.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. \displaystyle \angle BMA=0,5\cdot \breve{AB}=0,5\cdot 106^{\circ}=53^{\circ}.\; \angle MAK=0,5\cdot \breve{MK}=0,5\cdot 42^{\circ}=21^{\circ}. \displaystyle \angle BMA — внешний к углу M \displaystyle \bigtriangleup AMC, значит, \displaystyle \angle BMA равен сумме \displaystyle \angle MCA и \displaystyle \angle MAC этого треугольника. \displaystyle \angle C=\angle BMA-\angle MAC=53^{\circ}-21^{\circ}=32^{\circ}.
Ответ: 32.
Задача 8. Хорда MP делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 8. Под каким углом видна эта хорда из точки K, принадлежащей меньшей дуге MP? Ответ дайте в градусах (см. рис. 9).
ugly_028

Рис. 9.

Решение.
\displaystyle \angle MKP — вписанный, он равен половине дуги MP, на которую он опирается. Окружность 360° делится на две части, которые относятся как 4 : 8, обозначим эти части 4х и 8х. 4х + 8х = 360, 12x = 360, х = 360 : 12 = 30, большая дуга 8х = 8 • 30 = 240. \displaystyle \angle MKP=0,5\cdot \breve{MP}=0,5\cdot 240^{\circ}=120^{\circ}.
Ответ: 120.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: