Векторы. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 9

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор характеризуется модулем (длиной отрезка) и направлением. Два вектора, имеющие одинаковые модули и направления, равны.

загрузка...

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают \displaystyle \overrightarrow{AB} или строчной (маленькой) буквой, например \displaystyle \overrightarrow{a} (см. рис. 1).
vec_002

Рис.1.

Модуль (длину) вектора обозначают \displaystyle \left |\overrightarrow{AB} \right |.
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами (см. рис. 2). Заметим, что для любых точек A, B и C \displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
vec_004

Рис.2.

Разность векторов тоже можно получить двумя способами: \displaystyle \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b}) или \displaystyle \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} (см. рис. 3).
vec_010

Рис.3.

Задача 1. Стороны правильного треугольника KNP равны 10 (см. рис. 4). Найдите длину вектора \displaystyle \overrightarrow{KN}-\overrightarrow{KP}.

vec_008

Рис.4.

Решение.
\displaystyle \overrightarrow{KN}-\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{PN},\; \left | \overrightarrow{PN} \right |=10.
Ответ: 10.
Задача 2. Стороны правильного треугольника KNP равны 10 (см. рис. 5). Найдите квадрат длины вектора \displaystyle \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}.
vec_006

Рис.5.

Решение.
Достроим \displaystyle \bigtriangleup KPN до ромба KPTN (см. рис. 6). \displaystyle \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{KT}. Найдём длину KT из \displaystyle \bigtriangleup KTP с углом P = 120°. Согласно теореме косинусов, \displaystyle KT^{2}=10^{2}+10^{2}-2\cdot 10\cdot 10\cdot (-0,5)=300.
vec_012

Рис.6.

Ответ: 300.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: