Иррациональные числа. Готовимся к ОГЭ по математике. Урок 12

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
При любом \displaystyle a\geq 0 выражение \displaystyle \sqrt{a} имеет смысл. Если \displaystyle a<0, то выражение \displaystyle \sqrt{a} не имеет смысла. Из определения арифметического корня следует, что если выражение \displaystyle \sqrt{a} имеет смысл, то \displaystyle \sqrt{a}\geq 0 и \displaystyle \left ( \sqrt{a} \right )^{2}=a.
Свойства арифметического квадратного корня

загрузка...

1) Если \displaystyle a\geq 0,\; b\geq 0, то \displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.
2) Если \displaystyle a\geq 0,\; b>0, то \displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.

Пример 1. Найдите значение выражения:
а) \displaystyle \sqrt{2500}; б) \displaystyle -\sqrt{0,0004}; в) \displaystyle 2\sqrt{\frac{81}{16}}; г) \displaystyle \frac{7}{22}\cdot \sqrt{1,21}.
Решение.
а) \displaystyle \sqrt{2500}=\sqrt{25\cdot 100}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{100}=5\cdot 10=50.
б) \displaystyle -\sqrt{0,0004}=-\sqrt{\frac{4}{10000}}=-\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10000}}=-\frac{2}{100}=-0,02.
в) \displaystyle 2\sqrt{\frac{81}{16}}=2\cdot \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=2\cdot \frac{9}{4}=\frac{9}{2}=4,5.
г) \displaystyle \frac{7}{22}\cdot \sqrt{1,21}=\frac{7}{22}\cdot \sqrt{\frac{121}{100}}=\frac{7\cdot 11}{22\cdot 10}=0,35.
Ответ: а) 50; б) -0,02; в) 4,5; г) 0,35.
Пример 2. Внесите множитель под знак корня:
а) \displaystyle 5\sqrt{3}; б) \displaystyle -3\sqrt{7}.
Решение.
а) \displaystyle 5\sqrt{3}=\sqrt{5^{2}\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}.
б) \displaystyle -3\sqrt{7}=-\sqrt{3^{2}\cdot 7}=-\sqrt{9\cdot 7}=-\sqrt{63}.
Ответ: а) \displaystyle \sqrt{75}; б) \displaystyle -\sqrt{63}.
Пример 3. Упростите выражение:
а) \displaystyle \sqrt{27}-\sqrt{3}; б) \displaystyle \sqrt{125}-2\sqrt{5};
в) \displaystyle \frac{\sqrt{216}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}; г) \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{28}-\sqrt{7}.
Решение.
а) \displaystyle \sqrt{27}-\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}-\sqrt{3}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
б) \displaystyle \sqrt{125}-2\sqrt{5}=\sqrt{25\cdot 5}-2\sqrt{5}=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}.

в) \displaystyle \frac{\sqrt{216}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{36\cdot 6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{36}\cdot \sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{6\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}.
г) \displaystyle \frac{1}{2}\cdot \sqrt{28}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4\cdot 7}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{7}-\sqrt{7}=\sqrt{7}-\sqrt{7}=0.
Ответ: а) \displaystyle 2\sqrt{3}; б) \displaystyle 3\sqrt{5}; в) \displaystyle \sqrt{6}; г) 0.
Пример 4. Вычислите \displaystyle \sqrt{3\frac{1}{16}}-2\sqrt{0,25}.
Решение.
\displaystyle \sqrt{3\frac{1}{16}}-2\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{49}{16}}-2\cdot 0,5=\frac{7}{4}-1=1,75-1=0,75.
Ответ: 0,75.
Пример 5. Вычислите \displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 75}+4\cdot \sqrt{5\cdot \frac{1}{20}}.
Решение.
\displaystyle \frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 75}+4\cdot \sqrt{5\cdot \frac{1}{20}}=\frac{1}{5}\sqrt{225}+4\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}\cdot 15+4\cdot \frac{1}{2}=3+2=5.
Ответ: 5.
Пример 6. Найдите значение выражения \displaystyle \sqrt{b^{2}}-\sqrt{11} при \displaystyle b=\sqrt{11}.
Решение.
Подставим \displaystyle b=\sqrt{11} в выражение \displaystyle \sqrt{b^{2}}-\sqrt{11}. Получим
\displaystyle \sqrt{(\sqrt{11})^{2}}-\sqrt{11}=\sqrt{11}-\sqrt{11}=0.
Ответ: 0.
Пример 7. Упростите выражение \displaystyle \left ( 7\sqrt{3}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right ).
Решение.
\displaystyle \left ( 7\sqrt{3}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right )=\left ( \sqrt{147}+17\sqrt{48}-\sqrt{147} \right ):\left ( 2\sqrt{3} \right )=
\displaystyle =\frac{17\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\frac{17}{2}\sqrt{\frac{48}{3}}=\frac{17}{2}\sqrt{16}=\frac{17\cdot 4}{2}=34.
Ответ: 34.
Пример 8. Сократите дробь \displaystyle \frac{25-y}{5-\sqrt{y}}, если \displaystyle \sqrt{y}\neq 5.
Решение.
\displaystyle \frac{25-y}{5-\sqrt{y}}=\frac{(5-\sqrt{y})(5+\sqrt{y})}{5-\sqrt{y}}=5+\sqrt{y}.
Ответ: \displaystyle 5+\sqrt{y}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: