Квадратные неравенства. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 28

Квадратное неравенство — это неравенство вида \displaystyle ax^{2}+bx+c>0,\; \displaystyle ax^{2}+bx+c<0,\; \displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0,\; \displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0, где x — переменная, a,b и c — некоторые числа, причём \displaystyle a\neq 0. Покажем решение квадратных неравенств на примерах.
Пример 1. Решите неравенство \displaystyle 2x^{2}+11x-6>0.

загрузка...

Решение.
1. Решим уравнение \displaystyle 2x^{2}+11x-6=0.
\displaystyle a=2,b=11,c=-6.
\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=11^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)=121+48=169,\; D>0,
\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a};\; x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-11\pm 13}{4};
\displaystyle x_{1}=\frac{-11- 13}{4}=-6;\; x_{2}=\frac{-11+13}{4}=\frac{2}{4}=0,5.
2. Графиком функции \displaystyle y=2x^{2}+11x-6 является парабола, ветви которой направлены вверх (\displaystyle a=2>0). Парабола пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых 0,5 и —6 (см. рис. 1).
kv_ner_002

Рис.1

3. Вывод: данное неравенство выполняется, если \displaystyle x<-6 и \displaystyle x>0,5.
Ответ: \displaystyle (-\infty ;-6)\cup (0,5;+\infty ).
Покажем, как можно записывать решение квадратного неравенства, если вид графика анализировать устно.
Пример 2. Решите неравенство \displaystyle x^{2}-11x+24<0.
Решение.
Решим уравнение \displaystyle x^{2}-11x+24=0.
\displaystyle p=-11,q=24.
По теореме, обратной теореме Виета, имеем \displaystyle x_{1}+x_{2}=11,x_{1}\cdot x_{2}=24.
Следовательно, \displaystyle x_{1}=3,x_{2}=8.
Вывод: данное неравенство выполняется, если \displaystyle 3<x<8 (см. рис. 2). kv_ner_004

Рис.2

Ответ: (3;8).
Пример 3. Решите неравенство \displaystyle -3x^{2}+16x-5\geq 0. В ответе укажите наибольшее целое решение неравенства.
Решение.
Решим уравнение \displaystyle -3x^{2}+16x-5=0.
\displaystyle a=3,b=-16,c=5.

\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-16)^{2}-4\cdot 3\cdot 5=196,\; D>0.
\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a};\; x_{1,2}=\frac{16\pm \sqrt{196}}{2\cdot 3}=\frac{16\pm 14}{6};
\displaystyle x_{1}=\frac{16-14}{6}=\frac{1}{3};\; x_{2}=\frac{16+14}{6}=5.
kv_ner_006

Рис.3

\displaystyle \frac{1}{3}\leq x\leq 5 (см. рис. 3). Наибольшее целое решение неравенства равно 5.

Ответ: 5.
Пример 4. Решите неравенство \displaystyle x^{2}-x+5>0.
Решение.
Решим уравнение \displaystyle x^{2}-x+5=0.
\displaystyle a=1,b=-1,c=5.
\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot 5=1-20=-19,\; D<0. Уравнение \displaystyle x^{2}-x+5=0 корней не имеет, значит, график функции \displaystyle y=x^{2}-x+5 не пересекает ось Ox (см. рис. 4). kv_ner_008

Рис.4

Учитывая, что \displaystyle a=1>0, неравенство \displaystyle x^{2}-x+5>0 выполняется при любом значении x.
Ответ: \displaystyle (-\infty ;+\infty ).
Заметим, что если коэффициент при \displaystyle x^{2} отрицательный (\displaystyle a<0), то обе части неравенства можно умножить на (-1), изменив знак неравенства на противоположный, и тогда ветви параболы будут направлены вверх.
Пример 5. Решите неравенство \displaystyle -4x^{2}+12x-9\geq 0.
Решение.
\displaystyle -4x^{2}+12x-9\geq 0\; |\cdot (-1)
\displaystyle 4x^{2}-12x+9\leq 0.
Решим уравнение \displaystyle 4x^{2}-12x+9=0.
\displaystyle a=4,b=-12,c=9.
\displaystyle D=b^{2}-4ac.\; D=(-12)^{2}-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0,
\displaystyle x=-\frac{b}{2a},\; x=\frac{12}{2\cdot 4}=1,5.
kv_ner_010

Рис.5

Учитывая, что \displaystyle a=4>0, неравенство \displaystyle 4x^{2}-12x+9\leq 0 выполняется только при \displaystyle x=1,5 (см. рис. 5).
Ответ: 1,5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: