Площадь треугольника. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 49

Площадь треугольника равна половине произведения любой его стороны на высоту, проведённую к этой стороне: \displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH (см. рис. 1).
ugly_074

Рис.1

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot AC\cdot \sin \angle A (cм. рис.1).
Треугольники с равной площадью называются равновеликими.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC (см. рис.2).
ugly_076

Рис.2

Если \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} и \displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k,
то \displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}}}=k^{2}.
Задача 1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 3.
ugly_078

Рис.3

Решение.
По теореме Пифагора \displaystyle CB^{2}+AC^{2}=AB^{2},
\displaystyle CB=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4,S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6.
Ответ: 6.
Задача 2. Найдите площади треугольников, изображённых на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.4). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
ugly_080

Рис.4

Решение.
а) Треугольник является прямоугольным. По рисунку катеты равны 3 и 5, площадь \displaystyle S=3\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=7,5.
Проведём высоты на рисунках б) и в) (см. рис. 5).
ugly_082

Рис.5

Найдём площадь S по формуле \displaystyle S=\frac{1}{2}ah.
б) \displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=14; в) \displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9.
Ответ: а) 7,5, б) 14, в) 9.
Задача 1. Найдите площадь \displaystyle \bigtriangleup ABC, изображённого на рисунке 6.
Решение.
ugly_084

Рис.6

\displaystyle \bigtriangleup ABC - равнобедренный, высота BH является медианой, то есть \displaystyle AH=HC=14:2=7.
Найдём высоту BH из прямоугольного \displaystyle \bigtriangleup ABH.
\displaystyle BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=25^{2}-7^{2}=576,\; BH=24.
\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 24=168.
Ответ: 168.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×