Подобие фигур. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 3. Урок 59

Как правило, в задачах практической геометрии используется подобие треугольников. Напомним некоторые определения и теоремы.
Часто встречаются фигуры, которые имеют разные размеры, но одинаковую форму, например, все круги или все квадраты. Такие фигуры называют подобными.

загрузка...

Треугольники ABC и  A_{1}B_{1}C_{1} подобны друг другу (\displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}), если \displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1},\angle C=\angle C_{1} и \displaystyle \frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k, где k называют коэффициентом подобия (см. рис. 1).
geom_002

Рис.1

В подобных треугольниках медианы, биссектрисы и высоты пропорциональны с тем же коэффициентом.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Например, если \displaystyle \angle A=\angle A_{1},\angle B=\angle B_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис. 2).
geom_006

Рис.2

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими двумя сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
geom_004

Рис.3

Например, если \displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC} и \displaystyle \angle A=\angle A_{1}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис. 3).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
geom_008

Рис.4

Например, если \displaystyle \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}, то \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1} (см. рис. 4).
Теорема Пифагора.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Например, \displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2} (см. рис. 5).
geom_010

Рис.5

Задача 1. От столба к палатке «Мороженое» натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене палатки на высоте 3 м от земли (см. рис. 6). Вычислите высоту столба, если расстояние от палатки до столба равно 12 м.
geom_012

Рис.6

Решение.
В \bigtriangleup ABC (см. рис. 7) \angle A=90^{\circ},AC=12м, BC=13м. По теореме Пифагора имеем BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}. Отсюда AB^{2}=BC^{2}-AC^{2},AB^{2}=13^{2}-12^{2}=25,AB=5м.

geom_016

Рис.7

Учитывая, что высота палатки 3 м, найдём высоту столба: 5м + 3м = 8м.
Ответ: 8.
Задача 2. Определите ширину реки  AA_{1} (см. рис. 8), если BC_{1}=50м, BC=15м, AB=18м, \angle A=\angle A_{1} (Ответ дайте в метрах.)
geom_014

Рис.8

Решение.
На местности отметим точки A и B так, чтобы они находились на одной прямой с точкой A_{1}. На берегу отметим точки C и C_{1} так, чтобы AC была параллельна A_{1}C_{1}.
Получим \displaystyle \bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}BC_{1},
\displaystyle \frac{A_{1}B}{AB}=\frac{BC_{1}}{BC},A_{1}B=\frac{AB\cdot BC_{1}}{BC}=\frac{18\cdot 50}{15}=60(м).
\displaystyle AA_{1}=A_{1}B-AB=60-18=42(м).
Ответ: 42.
Задача 3. Проектор полностью освещает экран A высотой 60 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными (см. рис. 9)?
geom_018

Рис.9

Решение.
Из рисунка 10 \displaystyle \bigtriangleup OAA_{1}\sim \bigtriangleup OBB_{1}, значит \displaystyle \frac{BB_{1}}{AA_{1}}=\frac{OH_{1}}{OH};\frac{150}{60}=\frac{OH_{1}}{300};OH_{1}=300\cdot \frac{150}{60}=5\cdot 150=750 (см).
Здесь используется свойство, что высоты подобных треугольников (OH и OH_{1}) относятся так же, как и стороны ( \frac{OH_{1}}{OH}=\frac{BB_{1}}{AA_{1}})
geom_020

Рис.10

Ответ: 750.
Задача 4. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 20 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной в 20 шагов. Опре¬делите высоту столба в метрах.
Решение.

geom_022

Рис.11

Рассмотрим рисунок 11.
\displaystyle \bigtriangleup ACD\sim \bigtriangleup ABE,\frac{CD}{BE}=\frac{AD}{AE};AD=AE+ED=20+20=40;
\displaystyle \frac{CD}{1,8}=\frac{40}{20};\frac{CD}{1,8}=2;CD=3,6(м)
Ответ: 3,6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: