Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 25

Квадратное уравнение \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 называется приведённым, если a=1.
Пусть \displaystyle x^{2}+px+q=0 — приведённое квадратное уравнение, где p и q — некоторые числа. Если \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} — корни уравнения, то справедливы формулы (теорема Виета)
\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,
\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=q.


Справедливо и обратное утверждение. Если \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2} — некоторые числа, при этом \displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\;  x_{1}\cdot x_{2}=q, то уравнение \displaystyle x^{2}+px+q=0 имеет корни \displaystyle x_{1} и \displaystyle x_{2}, причём других корней нет (теорема, обратная теореме Виета).
Пример 1. Известно, что уравнение \displaystyle x^{2}+9x-10=0 имеет корни. Найдите сумму и произведение корней этого уравнения.
Решение. По теореме Виета
\displaystyle x_{1}+x_{2}=-9,
\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=-10.
Значит, \displaystyle x_{1}=-10,\; x_{2}=1.
Ответ: -10; 1.
Пример 2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 3 и —5.
Решение.
По теореме Виета,
\displaystyle x_{1}+x_{2}=-2,
\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=-15.
Напишем приведённое квадратное уравнение, в котором второй коэффициент \displaystyle p=2, а свободный член \displaystyle q=-15: \displaystyle x^{2}+2x-15=0.
По теореме, обратной теореме Виета, числа 3 и —5 являются корнями составленного уравнения.
Ответ: \displaystyle x^{2}+2x-15=0.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->