Равнобедренный треугольник. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 48

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна стороне треугольника и равна её половине. \displaystyle MN\parallel AC,MN=\frac{1}{2}AC (см. рис.1).
ugly_062

загрузка...

Рис.1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. На рисунке 2 получаем
\displaystyle \frac{CO}{C_{1}O}=\frac{BO}{B_{1}O}=\frac{AO}{A_{1}O}=\frac{2}{1}.
Например, если \displaystyle BB_{1}=12, то \displaystyle BO=\frac{2}{3}BB_{1}=12\cdot \frac{2}{3}=8 и \displaystyle OB_{1}=\frac{1}{3}BB_{1}=4.
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
ugly_064

Рис.1

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Равнобедренный и равносторонний треугольники

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Они называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием. На рисунке 3 \displaystyle AB=BC, AC — основание \displaystyle \bigtriangleup ABC.
ugly_066

Рис.3

В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны (\displaystyle \angle BCA=\angle BAC на рисунке 3), а высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. BH является одновременно и медианой, и биссектрисой, и высотой в \displaystyle \bigtriangleup ABC на рисунке 3.
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. На рисунке 4 \displaystyle \angle ABC=\angle ACB, а значит, \displaystyle \bigtriangleup ABC - равнобедренный (\displaystyle AB=AC).
ugly_068

Рис.4

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны. Равносторонние треугольники также называют правильными.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а медиана, биссектриса и высота, проведённые к любой из его сторон, совпадают.

Если в треугольнике все углы равны, то треугольник равносторонний.
Задача 1. Найдите сторону AC треугольника ABC, если \displaystyle \angle BAC=120^{\circ},\angle ABC=30^{\circ}, а \displaystyle AB=5.
Решение.
\displaystyle \angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle ABC,
значит, \displaystyle \bigtriangleup ABC - равнобедренный и \displaystyle AC=AB=5 (см. рис. 5).
ugly_070

Рис.5

Ответ: 5.
Задача 2. Медианы \displaystyle AA_{1} и \displaystyle BB_{1} треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите AO, если \displaystyle AA_{1}=6.
Решение.
O — точка пересечения медиан (см. рис.6).
ugly_072

Рис.6

\displaystyle \frac{AO}{OA_{1}}=\frac{2}{1}=2,AO=2OA_{1},AO+A_{1}O=AA_{1}=6,
\displaystyle 2OA_{1}+OA_{1}=6,3OA_{1}=6,OA_{1}=2,AO=2OA_{1}=4.
Ответ: 4.
Задача 3. Периметр треугольника равен 39. Найдите его стороны, если стороны подобного ему треугольника равны 3, 4 и 6.
Решение.
Пусть коэффициент подобия треугольников равен k. Тогда искомые стороны равны \displaystyle 3k,4k и 6k. Периметр \displaystyle P=3k+4k+6k=39;\; k=3. Найдём стороны: 9, 12 и 18.
Ответ: 9, 12, 18.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: