Свойства арифметической прогрессии. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 33

• Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: \displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.
• Сумма n первых членов арифметической прогрессии \displaystyle (S_{n}): \displaystyle S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n или \displaystyle S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n.


Пример 1. Задана арифметическая прогрессия \displaystyle 49,2x,51,... . Найдите x.
Решение.
Так как каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то \displaystyle 2x=\frac{49+51}{2},2x=50,x=25.
Ответ: 25.
Пример 2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, у которой \displaystyle a_{1}=7,a_{2}=10,a_{3}=13.
Решение.
Найдём разность арифметической профессии \displaystyle d=a_{2}-a_{1},d=10-7=3.
Найдём \displaystyle a_{4} и \displaystyle a_{5}: а^ = аз + d, 04 = 13 + 3 = 16;
\displaystyle a_{4}=a_{3}+d,\; a_{4}=13+3=16;
\displaystyle a_{5}=a_{4}+d,\; a_{5}=16+3=19.
Ответ: 65.
Пример 3. Дана арифметическая прогрессия: 5, 11, 17, ... . Найдите сумму первых семи её членов.
Решение.
Зная, что \displaystyle a_{1}=5 и \displaystyle a_{2}=11, найдём разность арифметической прогрессии \displaystyle d=a_{2}-a_{1},\; d=11-5=6.
По формуле \displaystyle a_{n}=a_{1}+d(n-1) найдём \displaystyle a_{7}.
\displaystyle a_{7}=5+6(7-1)=5+6\cdot 6=5+36=41.
Сумму первых семи членов арифметической прогрессии найдём по формуле \displaystyle S_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}}{2}\cdot n.
Так как \displaystyle a_{1}=5,a_{7}=41,n=7, то получим \displaystyle S_{7}=\frac{5+41}{2}\cdot 7=\frac{46}{2}\cdot 7=23\cdot 7=161.
Ответ: 161.
Пример 4. Последовательность задана формулой \displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2 и условием \displaystyle a_{1}=5. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.
Решение.
По определению числовая последовательность, заданная формулой \displaystyle a_{n+1}=a_{n}+2, является арифметической прогрессией с разностью 2.
Сумму первых шести членов арифметической профессии найдём по формуле \displaystyle S=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n.
Имеем \displaystyle a_{1}=5,n=6 и \displaystyle d=2.
Следовательно, \displaystyle S_{6}=\frac{2\cdot 5+2\cdot (6-1)}{2}\cdot 6=\frac{10+10}{2}\cdot 6=60.
Ответ: 60.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->