Свойства геометрической прогрессии. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 1. Урок 35

Свойства геометрической прогрессии

• Числовая последовательность, члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого, равен произведению предыдущего и последующего членов.
\displaystyle b{_{n}}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1},n\geq 2.


• Сумма n первых членов геометрической прогрессии \displaystyle S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}.
Задача 1. Задана геометрическая профессия: 2, x, 18,... . Найдите x.
Решение.
Так как последовательность 2, x, 18,... по условию является геометрической прогрессией, то по свойству геометрической прогрессии запишем
\displaystyle x^{2}=2\cdot 18,
\displaystyle x^{2}=36,
\displaystyle x_{1}=6,\; x_{2}=-6.
Ответ: 6; -6.
Задача 2. Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12,... . Найдите сумму первых шести её членов.
Решение.
По условию, \displaystyle b_{1}=3,\; b_{2}=6, знаменатель геометрической прогрессии \displaystyle q=b_{2}:b_{1},\; q=6:3=2.
По формуле \displaystyle S_{6}=\frac{b_{1}(q^{6}-1)}{q-1} находим
\displaystyle S_{6}=\frac{3(2^{6}-1)}{2-1}=3\cdot (64-1)=3\cdot 63=189.
Ответ: 189.
Задача 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n - го члена: \displaystyle b_{n}=2\cdot 3^{n-1}. Найдите сумму первых пяти её членов.
Решение.
В этой прогрессии \displaystyle b_{1}=2\cdot 3^{1-1}=2,\; b_{2}=2\cdot 3^{2-1}=6,\; q=b_{2}:b_{1}=6:2=3,\; n=5.
По формуле \displaystyle S_{5}=\frac{b_{1}(q^{5}-1)}{q-1} находим
\displaystyle S_{5}=\frac{2\cdot (3^{5}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot (243-1)}{2}=242.
Ответ: 242.
Задача 4. В геометрической прогрессии со знаменателем \displaystyle q=\frac{1}{2} сумма первых четырёх членов равна 60. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение.
Воспользуемся формулой \displaystyle S_{4}=\frac{b_{1}(q^{4}-1)}{q-1}:
\displaystyle \frac{b_{1}\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^{4}-1 \right )}{\frac{1}{2}-1}=60,\; \frac{b_{1}\left ( \frac{1}{16}-1 \right )}{-\frac{1}{2}}=60,\; b_{1}\cdot \frac{15}{16}\cdot \frac{2}{1}=60,\; b_{1}=\frac{60\cdot 16}{15\cdot 2}=32.
Ответ: 32.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×