Треугольник и окружность. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 55

В любой треугольник можно вписать окружность, которая будет касаться каждой из его сторон, т. е. иметь с ней одну общую точку. Такая окружность — единственная. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник (см. рис.1).
okr_034

загрузка...

Рис.1

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, которая проходит через все его вершины. Такая окружность — единственная. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника (см. рис.2).
okr_036

Рис.2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности (\displaystyle S=p\cdot r,p=\frac{a+b+c}{2})
Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности \displaystyle \left ( S=\frac{abc}{4R} \right ).
Если треугольник ABC вписан в окружность и \displaystyle \angle C=90^{\circ}, то AB — диаметр (см. рис. 3). В этом случае радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
okr_038

Рис.3

Если в треугольнике один из углов опирается на диаметр описанной окружности, то этот угол — прямой.
Задача 1. На рисунке 4 окружность с центром O описана вокруг \displaystyle \bigtriangleup ABC. Найдите радиус окружности.

okr_040

Рис.4

Решение.
\displaystyle \angle ACB опирается на диаметр. Значит, \displaystyle \angle ACB=90^{\circ}, по теореме Пифагора \displaystyle AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=25,
\displaystyle AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 25=12,5.
Ответ: 12,5.
Задача 2. В окружность вписан треугольник. Найдите градусную меру большей из дуг окружности, используя рисунок 5.
Решение.
\displaystyle \angle MPK вписанный, опирается на дугу MK.
okr_042

Рис.5

\displaystyle \angle MPK=\frac{1}{2}\smile MK, поэтому \displaystyle \smile MK=2\cdot 80^{\circ}=160^{\circ}.
Аналогично \displaystyle \smile MP=2\cdot 35^{\circ}=70^{\circ}. \displaystyle \smile PK=360^{\circ}-160^{\circ}-70^{\circ}=130^{\circ}. Большая дуга равна 160°.
Ответ: 160.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: