Векторы и координаты. Готовимся к ОГЭ по математике. Модуль 2. Урок 57

Векторы
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется вектором.
Точка плоскости называется нулевым вектором.
Длиной или модулем вектора \displaystyle \overrightarrow{AB} называется длина отрезка AB. Длина вектора обозначается \displaystyle \left | \overrightarrow{AB} \right |.


Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы бывают сонаправленными ( \vec{a} ↑↑  \vec{b}) (см. рис.1) и противоположно направленными ( \vec{a} ↓↓  \vec{b}) (см. рис.2).
vectory_002

Рис.1                                                                Рис.2

Сумма и разность векторов
1. \displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC};
2. \displaystyle \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA};
3. \displaystyle \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.
На рисунке 3 показано, как построить сумму и разность векторов \vec{a} и \vec{b}.
vectory_004

Рис.3

4. Умножение вектора на число.
\displaystyle k\cdot \vec{a} — такой вектор, длина которого равна  \left | k \right |\cdot \left | \vec{a} \right | и который при  k>0 сонаправлен с  \vec{a}, при  k<0 противоположно направлен  \vec{a} (см. рис.4).
vectory_006

Рис.4

5. Если M — середина AB, то \displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.
Скалярное произведение векторов и его свойства
\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \alpha, где \alpha — угол между векторами \vec{a} и \vec{b} (см. рис.5)
\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a};
\displaystyle \vec{a}\cdot \left (\vec{b}+\vec{c} \right )=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c};
vectory_008

Рис.5

\displaystyle \left | \vec{a} \right |^{2}=\vec{a}\cdot \vec{a}=\vec{a}^{2};
\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=0\; \Leftrightarrow \; \vec{a}\perp \vec{b};
\displaystyle \left | \vec{a} \right |+\left | \vec{b} \right |\geq \left | \vec{a}+\vec{b} \right |\geq \left | \vec{a} \right |-\left | \vec{b} \right |.
Координаты вектора
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала. Если точки A и B заданы координатами A(x_{1};y_{1}) и B(x_{2};y_{2}), то координаты вектора
\displaystyle \overrightarrow{AB}\left \{x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1} \right \}.
Длина отрезка \displaystyle AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}.
Например, на рисунке 6 координаты точек  A(5;1),B(1;3). Координаты вектора  \overrightarrow{AB}\left \{ 1-5;3-1 \right \}, то есть  \overrightarrow{AB}\left \{-4;2 \right \}. \displaystyle \left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
vectory_010

Рис.6

Координаты середины отрезка следует находить по формулам
\displaystyle x_{c}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\; y_{c}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}.

Например, на рисунке 6 координаты середины отрезка AB равны \displaystyle x=\frac{1+5}{2}=3;\; y=\frac{1+3}{2}=2.
Если \displaystyle \vec{a}\left \{ x_{1};y_{1} \right \},\vec{b}\left \{ x_{2};y_{2} \right \}, то
1. вектор \vec{a}+\vec{b} имеет координаты \displaystyle \left \{ x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2} \right \};
2. вектор \vec{a}-\vec{b} имеет координаты \displaystyle \left \{ x_{1}-x_{2};y_{1}-y_{2} \right \};
3. вектор \displaystyle k\vec{a} имеет координаты \displaystyle \left \{ kx_{1};ky_{1} \right \};
4. \displaystyle \left | \vec{a} \right |=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}};
5. \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2}.
Задача 1. Найдите координаты векторов \displaystyle \vec{a}+\vec{b},\vec{a}-\vec{b},5\vec{a}, если известно, что \displaystyle \vec{a}\left \{ 2;-3 \right \},\vec{b}\left \{ -5;-2 \right \}.
Решение.
\displaystyle \vec{a}+\vec{b}=\left \{ 2+(-5);-3+(-2) \right \}=\left \{ -3;-5 \right \}.
\displaystyle \vec{a}-\vec{b}=\left \{ 2-(-5);-3-(-2) \right \}=\left \{7;-1 \right \}.
\displaystyle 5\vec{a}=\left \{ 5\cdot 2;5\cdot (-3) \right \}=\left \{10;-15 \right \}.
Ответ: {-3; -5}, {7; -1}, {10; -15}.
Задача 2. Найдите скалярное произведение векторов \displaystyle \overrightarrow{AB}\left \{ 3;8 \right \} и \displaystyle \overrightarrow{MN}\left \{ -2;3 \right \}.
Решение.
\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MN}=x_{\vec{AB}}\cdot x_{\vec{MN}}+y_{\vec{AB}}\cdot y_{\vec{MN}}=3\cdot (-2)+8\cdot 3=18.
Ответ: 18.
Задача 3. Длина вектора \vec{a} равна 4, длина вектора \vec{b} равна 10, а длина вектора \vec{c} равна 5. Найдите \vec{a}\cdot \vec{b} и \vec{a}\cdot \vec{c}, если известно, что угол между векторами \vec{a} и \vec{b} равен 120°, а векторы \vec{a} и \vec{c} сонаправлены.
Решение.
\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |\cdot \left | \vec{b} \right |\cdot \cos \widehat{\vec{a},\vec{b}}.
Тогда \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=4\cdot 10\cdot \cos 120^{\circ}=40\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )=-20.
По условию, \displaystyle \vec{a}↑↑ \displaystyle \vec{c} значит, между ними угол 0°, то есть \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{c}=4\cdot 5\cdot \cos 0^{\circ}=4\cdot 5\cdot 1=20.
Ответ: -20; 20.
Задача 4. Длина вектора \vec{m} равна 12, длина вектора \vec{k} равна 5. Найдите длину вектора \vec{m}-\vec{k}, если вектор \vec{m} перпендикулярен вектору \vec{k}.
Решение.
Построим рисунок 7.
vectory_012

Рис.7

\displaystyle \vec{m}\perp \vec{k}, поэтому \displaystyle \left | \vec{m}-\vec{k} \right | можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 и 12. \displaystyle \left | \vec{m}-\vec{k} \right |=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.
Ответ: 13.
Задача 5. Найдите отрицательную координату y если расстояние от точки  M(1;y) до точки  K(4;-3) равно 5.
Решение.
Запишем расстояние от M до K: \displaystyle MK=\sqrt{(4-1)^{2}+(-3-y)^{2}}=5.
Тогда \displaystyle 3^{2}+(3+y)^{2}=25,\; (3+y)^{2}=16,
\displaystyle \left [ \begin{matrix} 3+y=4,\\ 3+y=-4; \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} y=1,\\ y=-7. \end{matrix} \right.
Выберем отрицательную координату y=-7.
Ответ: -7.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×