Описанные и вписанные окружности (задачи). Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 18

Задача 7. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 8). Найдите радиус окружности.
vpys_okr_032

Рис. 8.

Решение.
У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то есть
\displaystyle BC+AD = DC+AB. Поэтому \displaystyle AD+CB=\frac{P}{2}=42:2=21.
Наибольшая боковая сторона CB = 12, отсюда AD = 21-12 = 9. Так как \displaystyle AD\perp AB, то MK = AD = 2R, где R — радиус вписанной окружности. Тогда R = 9 : 2 = 4,5.
Ответ: 4,5.
Задача 8. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 30, основание равно 36 (см. рис. 9). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Решение.
vpys_okr_034

Рис. 9.

По теореме синусов \displaystyle \frac{MP}{\sin K}=2R, где R — радиус описанной около \displaystyle \bigtriangleup KMP окружности. Пусть MP = PK - 30, MK = 36. Проведём высоту PH (см. рис. 10). В равнобедренном треугольнике KMP высота PH является медианой, MH = HK = 18. Найдём PH по теореме Пифагора.
\displaystyle PH=\sqrt{PK^{2}-HK^{2}}=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=\sqrt{576}=24.\; \sin K=\frac{PH}{PK}=\frac{24}{30}=0,8.
vpys_okr_036

Рис. 10.

\displaystyle R=\frac{MP}{2 \cdot \sin K}=\frac{30}{0,8\cdot 2}=18,75.
Ответ: 18,75.
Задача 9. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиусом 12, равен 30° (см. рис. 11). Найдите сторону AB этого треугольника.

Решение.
По теореме синусов для радиуса описанной окружности R выполняется \displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin C}.
\displaystyle AB=2R\sin C=2\cdot 12\cdot \sin 30^{\circ}=2\cdot 12\cdot 0,5=12.
vpys_okr_038

Рис. 11.

Ответ: 12.
Задача 10. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 14. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, значит, гипотенуза — диаметр. Тогда гипотенуза равна 2 \cdot 14 = 28.
Ответ: 28.
Задача 11. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 80. Радиус описанной окружности равен 41 (см. рис. 12). Найдите высоту трапеции, если центр описанной окружности лежит внутри трапеции.
vpys_okr_040

Рис. 12.

Решение.
Проведём высоту HK через центр окружности O, H и K будут лежать на серединах оснований (см. рис. 13). \displaystyle \bigtriangleup AOK и \displaystyle \bigtriangleup DHO — прямоугольные, \displaystyle HO^{2}=OD^{2}-DH^{2}=41^{2}-9^{2}=1600,\; HO=40.\; OK^{2}=AO^{2}-AK^{2}=41^{2}-40^{2}=81,\; OK=9.
\displaystyle HK=HO+OK=40+9=49.
vpys_okr_042

Рис. 13.

Ответ: 49.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×