Прямоугольный параллелепипед. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 24

Прямоугольный параллелепипед

pr_paral_002

Рис. 1.

Объём прямоугольного параллелепипеда («кирпича», см. рис. 1) равен произведению трёх его измерений:

\displaystyle V=abc.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей его шести граней:

\displaystyle S=2(ab+bc+ac).

Диагональю прямоугольного параллелепипеда называют отрезок, соединяющий его противоположные вершины. Квадрат длины этого отрезка равен сумме квадратов трёх измерений параллелепипеда:

\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.

Если все три измерения прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называется кубом (см. рис. 2).
pr_paral_004

Рис. 2.

Для куба формулы объёма, площади и длины диагонали имеют вид

\displaystyle V=a^{3},\; S=6a^{2},\; d=a\sqrt{3}.

Разбиение тела на прямоугольные параллелепипеды

В следующих задачах требуется найти объём или площадь поверхности многогранника с прямыми двугранными углами. При решении сначала разбивают данный многогранник на несколько прямоугольных параллелепипедов, а затем подсчитывают объём или площадь поверхности каждого параллелепипеда в отдельности.
Задача 1. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 3 (все двугранные углы многогранника прямые).
pr_paral_006

Рис. 3.

Решение.
pr_paral_008

Рис. 4.

Данный многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов (см. рис. 4). Измерения большого параллелепипеда равны 16, 6 и 7. Измерения малого параллелепипеда равны 16 - 10 = 6,\;  6 и 10 - 7 = 3.
Суммарный объём этих параллелепипедов равен 16 \cdot  6 \cdot  7 + 6 \cdot  6 \cdot  3 = 96 \cdot  7 + 36 \cdot  3 = 672 + 108 = 780.
Ответ: 780.
Задача 2. Найдите квадрат расстояния между вершинами \displaystyle A и \displaystyle K_{2} многогранника, изображённого на рисунке 5. Все двугранные углы многогранника прямые.
pr_paral_010

Рис. 5.

Решение.
pr_paral_012

Рис. 6.

Проведём плоскость \displaystyle F_{1}F_{2}K_{2} и отбросим ту часть фигуры, которая оказалась справа. Достроим оставшуюся часть многогранника до прямоугольного параллелепипеда \displaystyle AFKDA_{2}F_{2}K_{2}D_{2} (см. рис. 6). Квадрат диагонали \displaystyle AK_{2} найдём по формуле
\displaystyle AK_{2}^{2}=FA^{2}+DA^{2}+AA_{2}^{2}=4^{2}+3^{2}+6^{2}=16+9+36=61.

Ответ: 61.
Задача 3. Найдите тангенс угла \displaystyle F_{2}AB многогранника, изображённого на рисунке 7. Все двугранные углы многогранника прямые.
pr_paral_014

Рис. 7.

Решение.
pr_paral_016

Рис. 8.

Заметим, что угол \displaystyle F_{2}AB=\alpha лежит в плоскости грани \displaystyle AA_{1}E_{1}E_{2}F_{2}F_{1}B_{2}B многогранника (см. рис. 8). Все углы многогранника прямые, поэтому \displaystyle F_{2}F_{1}\perp AB. В прямоугольном \displaystyle \bigtriangleup AF_{2}F\; \angle F=90^{\circ};\; tg\alpha =F_{2}F:AF=\frac{6}{4}=1,5.
Ответ: 1,5.
Задача 4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 9 (все двугранные углы прямые).
pr_paral_018

Рис. 9.

Решение.
Данный многогранник составлен из куба с ребром 2 и параллелепипеда 5x4x4. Площадь поверхности куба равна \displaystyle 6\cdot 2^{2}=24. Учтём, что нижняя грань куба «склеена» с параллелепипедом, поэтому её площадь не включается в площадь исходного многогранника. Остаётся \displaystyle 24-2\cdot 2=20.
Площадь поверхности параллелепипеда равна \displaystyle 2(5\cdot 4+5\cdot 4+4\cdot 4)=2\cdot 56=112. Также следует учесть, что квадрат 2x2 верхней грани параллелепипеда не будет включён в конечную площадь. Остаётся \displaystyle 112-2\cdot 2=108.
Искомая площадь равна 20 + 108 = 128.
Ответ: 128.
Задача 5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 10 (все двугранные углы прямые).
pr_paral_020

Рис. 10.

Решение.
При решении этой задачи данный многогранник удобнее всего рассматривать как прямую призму с высотой h = 7. Основанием этой призмы является многоугольник (см. рис. 11) с периметром \displaystyle P=2\cdot (5+4)=18 и площадью \displaystyle S_{OCH.}=5\cdot 4-3\cdot 1=17.
pr_paral_022

Рис. 11.

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна \displaystyle S_{bok}=Ph=18\cdot 7=126, а площадь всей поверхности равна \displaystyle S=S_{bok}+2S_{OCH}=126+2\cdot 17=160.
Ответ: 160.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×