Равнобедренный треугольник. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 22

Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две равные стороны. Эти стороны называют боковыми сторонами, третью сторону называют основанием. Если в задаче дан равнобедренный треугольник, то пользуются его свойствами.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника (между равными сторонами), является медианой и биссектрисой.


Посмотрим на рисунок 1. В треугольнике ABC основание AB, боковые стороны AC = CB, угол A равен углу B, высота CH делит AB на равные отрезки AH = HB и угол C на два равных угла.
trig_fu_014

Рис. 1.

Задача 1. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 24, \displaystyle \cos A=0,6. Найдите высоту CH.
Решение.
В треугольнике ABC стороны AC = BC, значит, он равнобедренный. Высота CH, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит AB пополам, поэтому AH = HB = 24:2 = 12. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHA с прямым углом H и катетами AH и HC. AH = 12, \displaystyle \cos A=0,6. Найдём AC. Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
\displaystyle \cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{12}{AC}=0,6.\; AC=12:0,6=20.
По теореме Пифагора
\displaystyle CH=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16.
Ответ: 16.
Задача 2. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 6, \displaystyle AC=6\sqrt{5} (см. рис. 2). Найдите тангенс угла ACB.
trig_fu_016

Рис. 2.

Решение.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном треугольнике BC = BA, основание AC, равны углы CAB и ACB. Следовательно, можно вместо тангенса угла ACB найти тангенс угла CAB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH с гипотенузой \displaystyle AC=6\sqrt{5} и катетами CH = 6 и HA. Длину катета HA можно найти по теореме Пифагора.
\displaystyle HA=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}-6^{2}}=\sqrt{180-36}=\sqrt{144}=12.

Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника
\displaystyle tg CAB=\frac{HC}{HA}=\frac{6}{12}=0,5.
Ответ: 0,5.
Задача 3. В треугольнике ABC AC = BC = 15, \displaystyle \sin B=\frac{\sqrt{21}}{5}. Найдите AB.
Решение.
trig_fu_018

Рис. 3.

В равнобедренном треугольнике ABC высота CH является медианой, значит, AH = HB (см. рис. 3). Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH с гипотенузой BC = 15 и катетами CH и HB. В данном треугольнике
\displaystyle \sin B=\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{CH}{CB};\; \frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{CH}{15}, тогда \displaystyle CH=\sqrt{21}\cdot 15:5=3\sqrt{21}.
Катет HB) можно найти по теореме Пифагора: \displaystyle CH=\sqrt{BC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{225-(3\sqrt{21})^{2}}=\sqrt{225-189}=\sqrt{36}=6.
AB в два раза больше HB, \displaystyle AB=6\cdot 2=12.
Ответ: 12.
Задача 4. В треугольнике ABC AC = BC = 20, \displaystyle AB=6\sqrt{39}. Найдите \displaystyle \sin A.
Решение.
trig_fu_020

Рис. 4.

Проведём высоту CH, тогда \displaystyle AH=BH=3\sqrt{39}. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (см. рис. 4). Катет HC можно найти по теореме Пифагора. \displaystyle HC=\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{20^{2}-(3\sqrt{39})^{2}}=\sqrt{400-351}=\sqrt{49}=7,\; \sin A=\frac{CH}{CA}=\frac{7}{20}=0,35.
Ответ: 0,35.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×