Тетраэдр и пирамида. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 27

Объём тетраэдра и пирамиды (см. рис. 1) можно найти по формуле
\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{OCH}h.
tetr_002

Рис. 1.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы (высоты боковой грани, проведённой из вершины пирамиды, см. рис. 2):
\displaystyle S_{bok}=\frac{1}{2}P_{OCH}l.
Высота правильной пирамиды падает в центр её основания. Углом между ребром и плоскостью основания называют угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. На рисунке 3 \displaystyle SABC — правильная пирамида,
tetr_004

Рис. 2.

SO — высота. Тогда O — центр основания ABC. Угол между ребром AS и плоскостью основания \displaystyle \alpha =\angle SAO.
tetr_006

Рис. 3.

Углом между боковой гранью и плоскостью основания называют угол между апофемой боковой грани и проекцией этой апофемы на плоскость основания. На рисунке 4 ABCS — правильная пирамида, SH — апофема, \displaystyle \beta =\angle AHS — угол между гранью BSC и плоскостью основания ABC.
tetr_008

Рис. 4.

Задача 1. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды (см. рис. 5) равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
tetr_010

Рис. 5.

Решение.

Проведём апофему EH (см. рис. 6). EH — высота равнобедренного треугольника ABE, поэтому является его медианой, и \displaystyle AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AEH имеем \displaystyle EH^{2}=AE^{2}-AH^{2};\; EH^{2}=17^{2}-8^{2}=225;\; EH=15. В основании пирамиды лежит квадрат с периметром \displaystyle 4\cdot 16=64 и площадью \displaystyle 16^{2}=256. Искомая площадь равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\displaystyle S_{\Pi O\Lambda H}=S_{OCH}+\frac{1}{2}Pl=256+\frac{1}{2}\cdot 64\cdot 15=256+480=736.
tetr_012

Рис. 6.

Ответ: 736.
Задача 2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60° (см. рис. 7). Высота пирамиды равна 12. Найдите объём пирамиды.
tetr_014

Рис. 7.

Решение.
По условию, высота пирамиды \displaystyle EH=12. Из прямоугольного треугольника \displaystyle EHG имеем \displaystyle ctg\angle EGH=\frac{HG}{EH};\; HG=EH\cdot ctg60^{\circ}=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.
Аналогично из прямоугольного треугольника EHA получаем \displaystyle HA=4\sqrt{3}. Площадь прямоугольника в основании
\displaystyle S_{OCH}=AB\cdot AD=HG\cdot (2\cdot HA)=4\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=96.
Объём пирамиды
\displaystyle V=\frac{1}{3}S_{OCH}h=\frac{1}{3}\cdot 96\cdot 12=384.
Ответ: 384.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

×