Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 20

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C равен 90°.
trig_fu_002
Стороны BC и AC называются катетами, сторона AB называется гипотенузой.

загрузка...
Для угла A прилежащий катет AC (лежит на стороне угла), противолежащий катет BC.
Для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: \displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.
Например, AC = 5, BC = 12. Найдём AB.
В нашем треугольнике AB — гипотенуза, \displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}, \displaystyle AB^{2}=25+144=169, \displaystyle AB=\sqrt{169}=13. Теперь разберём случай, когда нужно найти катет. Пусть AB = 10, AC = 8. Найдём BC.
\displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}, отсюда \displaystyle BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}, \displaystyle BC^{2}=10^{2}-8^{2}=100-64=36,\; BC=\sqrt{36}=6.
Теперь вспомним определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для нашего треугольника \displaystyle \sin A=\frac{BC}{AB};\; \sin B=\frac{AC}{AB}.
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для нашего треугольника \displaystyle \cos A=\frac{AC}{AB};\; \cos B=\frac{BC}{AB}.
Обратите внимание, в одном и том же прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, т.е. \displaystyle \sin A=\cos B,\; \sin B=\cos A.
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника \displaystyle tg A=\frac{BC}{AC},\; tg B=\frac{AC}{BC}.
Видно, что \displaystyle tg A=\frac{\sin A}{\cos A}.
Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла, если известен косинус этого угла, и наоборот.
\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1, или для острого угла \displaystyle \sin A=\sqrt{1-cos^{2}A};\; \cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 20, AC = 16. Найдите \displaystyle \sin A.
Решение.
Синусом угла называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора, \displaystyle AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}. найдём противолежащий углу A катет BC (см. рис. 1).
trig_fu_004

Рис. 1.

\displaystyle BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}, \displaystyle BC^{2}=20^{2}-16^{2}=400-256=144,\; BC=\sqrt{144}=12.
\displaystyle \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{20}=0,6.
Ответ: 0,6.
Задача 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \displaystyle \cos A=0,28. Найдите \displaystyle \sin A.
Решение.
Так как угол A - острый, то \displaystyle \sin A=\sqrt{1-cos^{2}A}=\sqrt{1-0,28^{2}}=\sqrt{0,9216}=0,96.
Ответ: 0,96.
Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \displaystyle AC=\sqrt{91},\; BC=3. Найдите \displaystyle \cos B.
Решение.
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора найдём гипотенузу AB (см. рис. 2). \displaystyle AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}, отсюда \displaystyle AB^{2}=3^{2}+(\sqrt{91})^{2}=9+91=100;\; AB=\sqrt{100}=10.
\displaystyle \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{10}=0,3.
trig_fu_006

Рис. 2.

Ответ: 0,3.
Задача 4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \displaystyle tg A=\sqrt{15}. Найдите \displaystyle \cos A.
Решение.
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Так как треугольник ABC прямоугольный, угол A острый, то для нашего треугольника
\displaystyle tg A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{15} и можно считать, что \displaystyle BC=\sqrt{15},
AC = 1. По теореме Пифагора найдём гипотенузу AB. \displaystyle AB^{2}=1^{2}+(\sqrt{15})^{2}=1+15=16;\; AB=\sqrt{16}=4.
\displaystyle \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{4}=0,25.
Ответ: 0,25.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: