Задачи на комбинации тел. Готовимся к ЕГЭ по математике. Геометрия. Урок 32

Задача 1. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (см. рис. 1). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 16.
cilinder_016

загрузка...

Рис. 1.

Решение.
Объём конуса равен \displaystyle \frac{1}{3}Sh, а объём цилиндра — \displaystyle Sh, где S — площадь их общего основания, h — общая высота. Видно, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса и равен \displaystyle 16\cdot 3=48.
Ответ: 48.
Задача 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см. рис. 2), радиус основания которого равен 5. Объём параллелепипеда равен 600. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
Каждая сторона прямоугольника в основании параллелепипеда равна диаметру цилиндра, то есть \displaystyle 2\cdot 5=10. Площадь основания параллелепипеда равна \displaystyle 10\cdot 10=100.
cilinder_018

Рис. 2.

Высоту h параллелепипеда находим из формулы объёма параллелепипеда: \displaystyle 100h=600;\; h=6. Найденная высота параллелепипеда одновременно является и высотой цилиндра.
Ответ: 6.
Задача 3. Объём куба равен 30 (см. рис. 3). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

cilinder_020

Рис. 3.

Решение.
Рассмотрим куб как четырёхугольную призму. Его объём равен \displaystyle V=S_{OCH}h. Основание пирамиды совпадает с основанием призмы, а высота вдвое меньше высоты призмы. Поэтому
\displaystyle V_{\Pi }=\frac{1}{3}S_{OCH}h_{\Pi }=\frac{1}{3}S_{OCH}\cdot \frac{1}{2}h_{K}=\frac{1}{6}\cdot V_{K}=\frac{1}{6}\cdot 30=5.
Ответ: 5.
Задача 4. Объём правильной шестиугольной пирамиды GABCDEF равен 60 (см. рис. 4). Найдите объём треугольной пирамиды GABC.
cilinder_022

Рис. 4.

Решение.
Обозначим сторону шестиугольника в основании пирамиды через r. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников, поэтому площадь шестиугольника равна \displaystyle 6\cdot \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^{2}. Найдём площадь треугольника ABC.
\displaystyle S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}r^{2}=\frac{1}{6}S_{ABCDEF}.
Таким образом, площадь основания пирамиды GABC в 6 раз меньше площади основания шестиугольной пирамиды, а их высоты совпадают. Поэтому объёмы этих пирамид находятся в том же соотношении, что и площади их оснований.
\displaystyle V_{GABC}=\frac{1}{6}V_{GABCDEF}=\frac{1}{6}\cdot 60=10.
Ответ: 10.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: