Правила вычисления производных. Начала анализа. Видеоурок №7

Пусть функции u и v имеют производные в точке. Тогда
1. Константу можно выносить за знак производной.
2. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций: \displaystyle (u+v)'=u'+v'.
3. Производная произведения: \displaystyle (uv)'=u'v+uv'.
4. Производная частного: \displaystyle \frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}.

Физический смысл производной. Начала анализа. Видеоурок №6

Мгновенная скорость в момент времени \displaystyle t_{0} прямолинейного движения, совершаемого по закону \displaystyle x=f(t), равна значению производной функции f при \displaystyle t=t_{0}. Таким же образом определяют мгновенную скорость других физических процессов: углового вращения, радиоактивность распада и т.д.

Уравнение касательной к графику функции. Начала анализа. Видеоурок №5

Для записи уравнения любой прямой на плоскости достаточно знать ее угловой коэффициент и точку, через которую она проходит. Касательная прямая проходит через точку касания и ее угловой коэффициент для дифференцируемой функции равен значению производной в точке \displaystyle x_{0}.

Геометрический смысл производной. Начала анализа. Видеоурок №4

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох: \displaystyle f'(x_{0})=\textrm{tg}\: \alpha.

загрузка...

Определение производной. Начала математического анализа. Видеоурок №3

На одних участках пути поезд едет быстрее, на других - медленнее, иногда он останавливается. При этом замедление и ускорение движения происходят постепенно, так что в течение малого промежутка времени скорость поезда почти не изменяется. Иными словами, можно сказать, что при малых значениях h скорость поезда в течение промежутка времени \displaystyle [a;a+h] почти постоянна, а само движение почти равномерно. Поэтому малые участки графика движения поезда почти неотличимы от прямой линии. В этом случае говорят, что функция "линейна в малом". В математике вместо "линейная в малом функция" говорят "дифференцируемая функция".

Свойства пределов. Непрерывность функции. Начала анализа. Видеоурок №2

Чтобы найти объем куба, достаточно измерить длину его ребра. При этом объем получается со сколь угодно высокой точностью, лишь бы ребро куба было измерено достаточно точно. Говорят, что объем куба непрерывно зависит от длины его ребра. Иной тип зависимости дает объем 1 кг воды, рассматриваемый как функция температуры при \displaystyle 0^{\circ}\: C. При сколь угодно малом понижении температуры вода замерзает и ее объем скачкообразно увеличивается.

Предел функции. Начала математического анализа. Видеоурок №1

Существует много примеров величин, связанных друг с другом так, что при безграничном увеличении одной из них другая бесконечно приближается к нулю. Например, сила F, с которой Земля притягивает удаляющуюся от нее ракету, приближается к нулю по мере увеличения расстояния R ракеты до Земли. Для описания величин, связанных друг с другом указанным образом, вводится понятие функции бесконечно малой при \displaystyle x \to +\infty.

×