Примеры на доказательство тригонометрических тождеств

ПРИМЕРЫ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТОЖДЕСТВ
При доказательстве тождеств обычно используют следующие способы:
1) выражение, стоящее в одной части тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части тождества;
2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, приводят к одному и тому же виду;
3) доказывают, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.

Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 2

Пример 5. Упростить A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha .
Решение.

A=\frac{sin^{2}\alpha }{1-sin^{2}\alpha }\cdot ctg^{2}\alpha =\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha }\cdot \frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha}=1.


Ответ: A=1.

Нахождение значений тригонометрических функций. Часть 1

Пример 1. Определить знак выражений: a) sin2; б) cos6.
Решение. Изобразим углы в 2 и 6 радиан на тригонометрическом круге (рис. 1). Заметим, что \pi =180^{\circ}, но, с другой стороны, \pi \approx 3,14 радиан. Поэтому \frac{\pi }{2}<2< \pi ,\; \frac{3\pi }{2}<6<2\pi . Отсюда угол \alpha =2 оканчивается во II четверти, а угол \alpha =6 оканчивается в IV четверти. Тогда sin2>0,\; cos6>0.

Основные тригонометрические тождества

Помимо тождества sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1, основными тригонометрическими тождествами называются также следующие соотношения:

sin\alpha=\pm \sqrt{1-cos^{2}\alpha },\; cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^{2}\alpha},


tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha },\; ctg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha },\; tg\alpha \cdot ctg\alpha =1,

загрузка...

Определение тригонометрических функций

Рассмотрим вначале тригонометрические функции острого угла, которые можно ввести с помощью прямоугольного треугольника (рис. 1).
Пусть в прямоугольном треугольнике ACB:

\angle ACB=90^{\circ},\; \angle BAC=\alpha ,\; \left | BC \right |=a,\; \left | AC \right |=b,\; \left | AB \right |=c.


sin\alpha =\frac{\left | BC \right |}{\left | AB \right |}=\frac{a}{c} (отношение противолежащего катета к гипотенузе).

Связь между радианной и градусной мерами угла

Связь между радианной и градусной мерами угла

Поскольку длина всей окружности равна 2\pi R, то полный угол составляет 2\pi радиан, т. к. \frac{2\pi R}{R}=2\pi. Поскольку полный угол равен 360° , то 2\pi=360^{\circ}.
Отсюда 1 радиан = \frac{360^{\circ}}{2\pi }=\frac{180^{\circ}}{\pi }=57^{\circ}{17}'{45}'' (57 градусов, 17 минут, 45 секунд).
Таким образом, из соотношений \pi =180^{\circ},\; 1=\frac{180}{\pi },\; 1^{\circ}=\frac{\pi }{180^{\circ}} можно переходить от градусов к радианам и наоборот.

Тригонометрия. Углы и их измерения

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла (рис.1).
ris-1

Рис.1
загрузка...